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MathTCG
#046 / 100•Algebra & Numbers•MathTCG #346 / 500•★★Peu commune•⊕Algèbre•Concept

Anneau euclidien

Période historique : 1900

Anneau intègre muni d'un algorithme de division euclidienne, où tout idéal est principal.

Contenu & Formulation mathématique

Définition rigoureuse
Anneau intègre muni d'une jauge stathmique autorisant l'algorithme d'Euclide du PGCD.
Notation usuelle & Exemples
\mathbb{Z}, \; K[X], \; \mathbb{Z}[i]
∀a,b≠0,  ∃q,r∈A,  a=bq+ravec r=0 ou ν(r)<ν(b)\forall a, b \ne 0,\; \exists q, r \in A,\; a = bq + r \quad \text{avec } r = 0 \text{ ou } \nu(r) < \nu(b)

Genèse & Portée historique

Un anneau intègre est euclidien s'il existe un stathme (fonction degré ou valeur absolue) permettant d'effectuer la division euclidienne avec reste strictement inférieur au diviseur. Tout anneau euclidien est principal et factoriel, garantissant l'unicité de la décomposition en irréductibles.

Les exemples rois sont l'anneau des entiers relatifs Z, l'anneau des polynômes K[X] sur un corps et l'anneau des entiers de Gauss Z[i].

« Là où la division avec reste ordonné subsiste, l'arithmétique tout entière retrouve ses certitudes. »

Filiations & Relations conceptuelles (0)

Cette notice constitue un axiome autonome sans relations directes enregistrées dans le recueil.

Objet de collection MathTCG

#346
★★Peu commune
⊕

Anneau euclidien

Algèbre•CONCEPT

Anneau intègre muni d'une jauge stathmique autorisant l'algorithme d'Euclide du PGCD.

∀a,b≠0,  ∃q,r∈A,  a=bq+ravec r=0 ou ν(r)<ν(b)\forall a, b \ne 0,\; \exists q, r \in A,\; a = bq + r \quad \text{avec } r = 0 \text{ ou } \nu(r) < \nu(b)
1900

Dans l'édition physique et numérique de MathTCG, cette carte appartient à l'extension Algebra & Numbers.

Extension : Algebra & Numbers (#046 / 100)
Numéro global MathTCG : MathTCG #346 / 500
Rareté officielle : Peu commune (★★)
Domaine théorique : Algèbre
Identifiant pérenne : anneau-euclidien
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