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MathTCG
#087 / 100•Algebra & Numbers•MathTCG #387 / 500•★Commune•⊕Algèbre•Concept

Base d'un espace vectoriel

Période historique : 1844

Famille de vecteurs à la fois libre et génératrice, fixant un système de coordonnées unique.

Contenu & Formulation mathématique

Définition rigoureuse
Famille libre maximale et génératrice minimale d'un espace vectoriel.
Notation usuelle & Exemples
\mathcal{B} = (e_1, \dots, e_n)
∀x∈E,  ∃! (x1,…,xn)∈Kn,  x=∑i=1nxiei\forall \mathbf{x} \in E,\; \exists !\, (x_1, \dots, x_n) \in K^n,\; \mathbf{x} = \sum_{i=1}^{n} x_i \mathbf{e}_i

Genèse & Portée historique

Une base B = (e_1, ..., e_n) fournit un système de coordonnées canonique : tout vecteur x s'écrit de manière unique comme combinaison linéaire des vecteurs de base. Le nombre d'éléments d'une base est un invariant absolu de l'espace, appelé sa dimension.

L'existence d'une base pour tout espace vectoriel de dimension quelconque dépend de l'axiome du choix (lemme de Zorn).

« L'armature minimale et suffisante où chaque point de l'espace reçoit une adresse unique. »

Filiations & Relations conceptuelles (0)

Cette notice constitue un axiome autonome sans relations directes enregistrées dans le recueil.

Objet de collection MathTCG

#387
★Commune
⊕

Base d'un espace vectoriel

Algèbre•CONCEPT

Famille libre maximale et génératrice minimale d'un espace vectoriel.

∀x∈E,  ∃! (x1,…,xn)∈Kn,  x=∑i=1nxiei\forall \mathbf{x} \in E,\; \exists !\, (x_1, \dots, x_n) \in K^n,\; \mathbf{x} = \sum_{i=1}^{n} x_i \mathbf{e}_i
1844

Dans l'édition physique et numérique de MathTCG, cette carte appartient à l'extension Algebra & Numbers.

Extension : Algebra & Numbers (#087 / 100)
Numéro global MathTCG : MathTCG #387 / 500
Rareté officielle : Commune (★)
Domaine théorique : Algèbre
Identifiant pérenne : base-d-un-espace-vectoriel
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