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MathTCG
#052 / 100•Algebra & Numbers•MathTCG #352 / 500•★★Peu commune•∇Maths Appliquées•Méthode & Idée

Codes de Reed-Solomon

Période historique : 1960

Codes correcteurs d'erreurs polynomiaux protégeant les données des disques, satellites et QR codes.

Contenu & Formulation mathématique

Principe de la démarche
Interpolation polynomiale de Lagrange sur un corps de Galois pour corriger jusqu'à (n-k)/2 erreurs.
Champs d'application canoniques
Disques compacts (CD/DVD/Blu-ray), QR codes, sondes spatiales de la NASA et réseaux cellulaires 5G.
p(x)=∑i=0k−1mixi  ⟹  c=(p(α1),p(α2),…,p(αn))∈Fqnp(x) = \sum_{i=0}^{k-1} m_i x^i \implies \mathbf{c} = (p(\alpha_1), p(\alpha_2), \dots, p(\alpha_n)) \in \mathbb{F}_q^n

Genèse & Portée historique

En sur-échantillonnant un message vu comme un polynôme sur un corps fini F_q, le code de Reed-Solomon permet de reconstituer fidèlement le message original même si une fraction substantielle des données transmises a été corrompue ou effacée par le bruit.

Irving Reed et Gustave Solomon ont publié cet algorithme en 1960. Il a sauvé les images numériques de la sonde spatiale Voyager 2 lors de son survol d'Uranus et de Neptune.

« La redondance algébrique qui guérit les cicatrices du bruit dans la transmission. »

Filiations & Relations conceptuelles (1)

Notion connexe#458

Richard Hamming

Extension fondamentale des codes correcteurs d'erreurs sur des corps de Galois.

Objet de collection MathTCG

#352
★★Peu commune
∇

Codes de Reed-Solomon

Maths Appliquées•MÉTHODE

Principe : Interpolation polynomiale de Lagrange sur un corps de Galois pour corriger jusqu'à (n-k)/2 erreurs.

p(x)=∑i=0k−1mixi  ⟹  c=(p(α1),p(α2),…,p(αn))∈Fqnp(x) = \sum_{i=0}^{k-1} m_i x^i \implies \mathbf{c} = (p(\alpha_1), p(\alpha_2), \dots, p(\alpha_n)) \in \mathbb{F}_q^n
1960

Dans l'édition physique et numérique de MathTCG, cette carte appartient à l'extension Algebra & Numbers.

Extension : Algebra & Numbers (#052 / 100)
Numéro global MathTCG : MathTCG #352 / 500
Rareté officielle : Peu commune (★★)
Domaine théorique : Maths Appliquées
Identifiant pérenne : codes-de-reed-solomon
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