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MathTCG
#047 / 100•Algebra & Numbers•MathTCG #347 / 500•★★Peu commune•⊕Algèbre•Concept

Corps de rupture

Période historique : 1830

Plus petite extension de corps contenant au moins une racine d'un polynôme irréductible.

Contenu & Formulation mathématique

Définition rigoureuse
Extension algébrique minimale K(alpha) engendrée par une racine unique d'un polynôme irréductible.
Notation usuelle & Exemples
\mathbb{R}[X]/(X^2+1) \cong \mathbb{C}
L=K[X]/(P(X))≅K(α),P(α)=0,[L:K]=deg⁡(P)L = K[X]/(P(X)) \cong K(\alpha), \quad P(\alpha) = 0, \quad [L:K] = \operatorname{deg}(P)

Genèse & Portée historique

Pour un polynôme irréductible P sur un corps K, son corps de rupture est le corps quotient K[X]/(P). En posant alpha = cl(X), alpha est une racine formelle de P, et tout élément du corps de rupture s'exprime de manière unique comme un polynôme en alpha de degré inférieur à deg(P).

Augustin-Louis Cauchy en 1847 et Leopold Kronecker ont popularisé cette construction algébrique rigoureuse évitant de postuler l'existence d'êtres imaginaires ex nihilo.

« Créer par décret algébrique la racine manquante en quotientant l'anneau des polynômes. »

Filiations & Relations conceptuelles (0)

Cette notice constitue un axiome autonome sans relations directes enregistrées dans le recueil.

Objet de collection MathTCG

#347
★★Peu commune
⊕

Corps de rupture

Algèbre•CONCEPT

Extension algébrique minimale K(alpha) engendrée par une racine unique d'un polynôme irréductible.

L=K[X]/(P(X))≅K(α),P(α)=0,[L:K]=deg⁡(P)L = K[X]/(P(X)) \cong K(\alpha), \quad P(\alpha) = 0, \quad [L:K] = \operatorname{deg}(P)
1830

Dans l'édition physique et numérique de MathTCG, cette carte appartient à l'extension Algebra & Numbers.

Extension : Algebra & Numbers (#047 / 100)
Numéro global MathTCG : MathTCG #347 / 500
Rareté officielle : Peu commune (★★)
Domaine théorique : Algèbre
Identifiant pérenne : corps-de-rupture
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