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MathTCG
#098 / 100•Algebra & Numbers•MathTCG #398 / 500•★Commune•⊕Algèbre•Méthode & Idée

Corps des fractions

Période historique : 1897

Construction algébrique rigoureuse étendant tout anneau intègre en un corps (tel Q depuis Z).

Contenu & Formulation mathématique

Principe de la démarche
Localisation de l'anneau A par rapport à la partie multiplicative A \ {0}.
Champs d'application canoniques
Construction de Q depuis Z et du corps des fractions rationnelles K(X) depuis K[X].
Frac⁡(A)={ab  |  a,b∈A,  b≠0}/∼,ab=cd  ⟺  ad=bc\operatorname{Frac}(A) = \left\{ \frac{a}{b} \;\middle|\; a, b \in A,\; b \ne 0 \right\} \Big/ \sim, \quad \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \iff ad = bc

Genèse & Portée historique

À partir d'un anneau intègre A, on forme les paires (a, b) avec b non nul quotientées par la relation d'équivalence de produit en croix a d = b c. Ce procédé engendre le plus petit corps Frac(A) contenant A, comme le corps des fractions rationnelles K(X) depuis K[X].

Cette construction formalise rigoureusement la création humaine des fractions arithmétiques et des fonctions rationnelles.

« Rendre inversible tout élément non nul pour transformer l'intégrité en un corps d'abondance. »

Filiations & Relations conceptuelles (0)

Cette notice constitue un axiome autonome sans relations directes enregistrées dans le recueil.

Objet de collection MathTCG

#398
★Commune
⊕

Corps des fractions

Algèbre•MÉTHODE

Principe : Localisation de l'anneau A par rapport à la partie multiplicative A \ {0}.

Frac⁡(A)={ab  |  a,b∈A,  b≠0}/∼,ab=cd  ⟺  ad=bc\operatorname{Frac}(A) = \left\{ \frac{a}{b} \;\middle|\; a, b \in A,\; b \ne 0 \right\} \Big/ \sim, \quad \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \iff ad = bc
1897

Dans l'édition physique et numérique de MathTCG, cette carte appartient à l'extension Algebra & Numbers.

Extension : Algebra & Numbers (#098 / 100)
Numéro global MathTCG : MathTCG #398 / 500
Rareté officielle : Commune (★)
Domaine théorique : Algèbre
Identifiant pérenne : corps-des-fractions
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