#041 / 100•Algebra & Numbers•MathTCG #341 / 500•★★Peu commune•⊕Algèbre•Théorème

Critère d'Eisenstein

Période historique : 1850

Critère suffisant élégant d'irréductibilité d'un polynôme à coefficients entiers par un nombre premier.

Contenu & Formulation mathématique

Hypothèses nécessaires

P polynôme à coefficients entiers et p premier satisfaisant les conditions de divisibilité d'Eisenstein.

Énoncé formel

P est irréductible dans Q[X] et dans Z[X] (si P est primitif).

p | a_k \; (k < n), \quad p \nmid a_n, \quad p^2 \nmid a_0 \implies P(X) \text{ irréductible sur } \mathbb{Q}

Genèse & Portée historique

Soit P(X) = a_n X^n + ... + a_0 un polynôme à coefficients entiers. S'il existe un nombre premier p divisant tous les coefficients a_0, ..., a_{n-1}, mais ne divisant pas le coefficient dominant a_n, et tel que p^2 ne divise pas a_0, alors P(X) est irréductible sur Q.

Ce critère permet de prouver instantanément l'irréductibilité des polynômes cyclotomiques Phi_p(X) = (X^p - 1)/(X - 1) en effectuant la substitution X = Y + 1.

« Un crible arithmétique modulo p qui garantit l'indivisibilité absolue du polynôme. »

Filiations & Relations conceptuelles (0)

Cette notice constitue un axiome autonome sans relations directes enregistrées dans le recueil.

Objet de collection MathTCG

#341

★★Peu commune

⊕

Critère d'Eisenstein

Algèbre•THÉORÈME

Hypothèses : P polynôme à coefficients entiers et p premier satisfaisant les conditions de divisibilité d'Eisenstein.

p | a_k \; (k < n), \quad p \nmid a_n, \quad p^2 \nmid a_0 \implies P(X) \text{ irréductible sur } \mathbb{Q}

1850

Dans l'édition physique et numérique de MathTCG, cette carte appartient à l'extension Algebra & Numbers.

Extension : Algebra & Numbers (#041 / 100)

Numéro global MathTCG : MathTCG #341 / 500

Rareté officielle : Peu commune (★★)

Domaine théorique : Algèbre

Identifiant pérenne : critere-d-eisenstein

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