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MathTCG
#076 / 100•Algebra & Numbers•MathTCG #376 / 500•★Commune•⊕Algèbre•Méthode & Idée

Division euclidienne des polynômes

Période historique : XVIIe siècle

Décomposition unique A = BQ + R avec deg(R) < deg(B) dans tout anneau de polynômes sur un corps.

Contenu & Formulation mathématique

Principe de la démarche
Algorithme d'élimination successive du monôme dominant par soustraction de multiples de B.
Champs d'application canoniques
Calcul du PGCD polynomial, factorisation et réduction modulaire K[X]/(P).
A(X)=B(X)Q(X)+R(X)avec deg⁡(R)<deg⁡(B)A(X) = B(X) Q(X) + R(X) \quad \text{avec } \operatorname{deg}(R) < \operatorname{deg}(B)

Genèse & Portée historique

Pour deux polynômes A et B (B non nul), il existe un unique couple de polynômes quotient Q et reste R satisfaisant A = BQ + R avec le degré de R strictement inférieur à celui de B. C'est l'algorithme de division posée permettant de calculer les PGCD de polynômes.

Cette division euclidienne confère à l'anneau K[X] sa structure d'anneau principal où tous les idéaux sont engendrés par un unique polynôme unitaire.

« Dégager le quotient quotienté jusqu'à ce que le résidu soit trop modeste pour être encore divisé. »

Filiations & Relations conceptuelles (0)

Cette notice constitue un axiome autonome sans relations directes enregistrées dans le recueil.

Objet de collection MathTCG

#376
★Commune
⊕

Division euclidienne des polynômes

Algèbre•MÉTHODE

Principe : Algorithme d'élimination successive du monôme dominant par soustraction de multiples de B.

A(X)=B(X)Q(X)+R(X)avec deg⁡(R)<deg⁡(B)A(X) = B(X) Q(X) + R(X) \quad \text{avec } \operatorname{deg}(R) < \operatorname{deg}(B)
XVIIe siècle

Dans l'édition physique et numérique de MathTCG, cette carte appartient à l'extension Algebra & Numbers.

Extension : Algebra & Numbers (#076 / 100)
Numéro global MathTCG : MathTCG #376 / 500
Rareté officielle : Commune (★)
Domaine théorique : Algèbre
Identifiant pérenne : division-euclidienne-des-polynomes
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