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MathTCG
#020 / 100•Space, Chance & Computation•MathTCG #420 / 500•★★★Rare•△Géométrie•Concept

Ensemble de Cantor

Période historique : 1883

Poussière fractale compacte non dénombrable et totalement discontinue de mesure de Lebesgue nulle.

Contenu & Formulation mathématique

Définition rigoureuse
Poussière fractale compacte non dénombrable et totalement discontinue de mesure de Lebesgue nulle.
C=⋂n=0∞En,λ(C)=1−∑n=0∞2n3n+1=0,dim⁡H(C)=ln⁡2ln⁡3C = \bigcap_{n=0}^{\infty} E_n, \quad \lambda(C) = 1 - \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^n}{3^{n+1}} = 0, \quad \dim_H(C) = \frac{\ln 2}{\ln 3}

Genèse & Portée historique

En partant du segment unité [0, 1] et en retirant récursivement le tiers central ouvert de chaque sous-intervalle restant, Cantor obtint un ensemble compact, sans point isolé, non dénombrable (ayant la puissance du continu 2^aleph_0) mais dont la mesure de Lebesgue totale est rigoureusement nulle.

Cantor l'a introduit comme contre-exemple pour tester les limites des théorèmes d'unicité des séries trigonométriques, jetant sans le savoir les bases de la théorie moderne des fractales.

« Retirez l'essentiel du segment : ce qui subsiste a une longueur nulle mais contient autant de points que la droite entière. »

Filiations & Relations conceptuelles (0)

Cette notice constitue un axiome autonome sans relations directes enregistrées dans le recueil.

Objet de collection MathTCG

#420
★★★Rare
△

Ensemble de Cantor

Géométrie•CONCEPT

Poussière fractale compacte non dénombrable et totalement discontinue de mesure de Lebesgue nulle.

C=⋂n=0∞En,λ(C)=1−∑n=0∞2n3n+1=0,dim⁡H(C)=ln⁡2ln⁡3C = \bigcap_{n=0}^{\infty} E_n, \quad \lambda(C) = 1 - \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^n}{3^{n+1}} = 0, \quad \dim_H(C) = \frac{\ln 2}{\ln 3}
1883

Dans l'édition physique et numérique de MathTCG, cette carte appartient à l'extension Space, Chance & Computation.

Extension : Space, Chance & Computation (#020 / 100)
Numéro global MathTCG : MathTCG #420 / 500
Rareté officielle : Rare (★★★)
Domaine théorique : Géométrie
Identifiant pérenne : ensemble-de-cantor
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