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MathTCG
#038 / 100•Algebra & Numbers•MathTCG #338 / 500•★★Peu commune•⊕Algèbre•Concept

Entiers de Gauss

Période historique : 1832

Anneau euclidien Z[i] des nombres complexes à coordonnées entières muni d'une factorisation unique.

Contenu & Formulation mathématique

Définition rigoureuse
Sous-anneau des nombres complexes formé des entiers algébriques du corps quadratique Q(i).
Notation usuelle & Exemples
3 + 4i = (2 + i)(2 - i)
Z[i]={a+bi∣a,b∈Z},N(a+bi)=a2+b2\mathbb{Z}[i] = \{ a + bi \mid a, b \in \mathbb{Z} \}, \quad N(a + bi) = a^2 + b^2

Genèse & Portée historique

Les entiers de Gauss sont les nombres complexes a + bi où a et b sont des entiers relatifs. Équipés de la norme N(a+bi) = a^2 + b^2, ils forment un anneau euclidien à factorisation unique permettant de classifier élégamment les sommes de deux carrés de Fermat.

Gauss les a introduits en 1832 pour formuler de manière limpide la loi de réciprocité biquadratique.

« Un réseau quadratique parfait où les nombres premiers se dédoublent dans le plan complexe. »

Filiations & Relations conceptuelles (0)

Cette notice constitue un axiome autonome sans relations directes enregistrées dans le recueil.

Objet de collection MathTCG

#338
★★Peu commune
⊕

Entiers de Gauss

Algèbre•CONCEPT

Sous-anneau des nombres complexes formé des entiers algébriques du corps quadratique Q(i).

Z[i]={a+bi∣a,b∈Z},N(a+bi)=a2+b2\mathbb{Z}[i] = \{ a + bi \mid a, b \in \mathbb{Z} \}, \quad N(a + bi) = a^2 + b^2
1832

Dans l'édition physique et numérique de MathTCG, cette carte appartient à l'extension Algebra & Numbers.

Extension : Algebra & Numbers (#038 / 100)
Numéro global MathTCG : MathTCG #338 / 500
Rareté officielle : Peu commune (★★)
Domaine théorique : Algèbre
Identifiant pérenne : entiers-de-gauss
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