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MathTCG
#148 / 200•Foundations•MathTCG #148 / 500•★★Peu commune•∫Analyse•Concept

Exponentielle

Période historique : XVIIe - XVIIIe siècle

La fonction égale à sa propre dérivée : le modèle universel de la croissance proportionnelle.

Contenu & Formulation mathématique

Définition rigoureuse
Unique fonction dérivable sur ℝ vérifiant f' = f et f(0) = 1, s'exprimant par la série entière universelle de terme général x^n/n!.
Notation usuelle & Exemples
e^0 = 1, \quad e^1 \approx 2{,}71828, \quad e^{a+b} = e^a \cdot e^b
ex=∑n=0∞xnn!,ddxex=exe^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}, \quad \frac{d}{dx} e^x = e^x

Genèse & Portée historique

L'unique fonction réelle f définie sur ℝ telle que f' = f et f(0) = 1. La fonction exponentielle f(x) = e^x convertit les sommes en produits (e^(x+y) = e^x e^y) et modélise tout phénomène où la vitesse de variation est proportionnelle à la grandeur présente.

Jacob Bernoulli découvrit la constante e en 1683 en étudiant les intérêts composés continus : en calculant la limite de (1 + 1/n)^n quand la fréquence de capitalisation n devient infinie.

« Croître au rythme exact de ce que l'on est déjà. »

Filiations & Relations conceptuelles (0)

Cette notice constitue un axiome autonome sans relations directes enregistrées dans le recueil.

Objet de collection MathTCG

#148
★★Peu commune
∫

Exponentielle

Analyse•CONCEPT

Unique fonction dérivable sur ℝ vérifiant f' = f et f(0) = 1, s'exprimant par la série entière universelle de terme général x^n/n!.

ex=∑n=0∞xnn!,ddxex=exe^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}, \quad \frac{d}{dx} e^x = e^x
XVIIe - XVIIIe siècle

Dans l'édition physique et numérique de MathTCG, cette carte appartient à l'extension Foundations.

Extension : Foundations (#148 / 200)
Numéro global MathTCG : MathTCG #148 / 500
Rareté officielle : Peu commune (★★)
Domaine théorique : Analyse
Identifiant pérenne : exponentielle
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