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MathTCG
#089 / 100•Analysis & Infinity•MathTCG #289 / 500•★Commune•∫Analyse•Concept

Fonction arc tangente

Période historique : 1671

Réciproque de la tangente, primitive de 1/(1+x^2) bornée par -pi/2 et pi/2.

Contenu & Formulation mathématique

Définition rigoureuse
Bijection réciproque de la restriction de la fonction tangente à l'intervalle ouvert ]-pi/2, pi/2[.
Notation usuelle & Exemples
\arctan x
arctan⁡x=∫0xdt1+t2=∑n=0∞(−1)nx2n+12n+1\arctan x = \int_{0}^{x} \frac{dt}{1 + t^2} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1}

Genèse & Portée historique

L'arc tangente est une fonction lisse strictement croissante définie sur tout R, admettant pour asymptotes horizontales y = -pi/2 en -infini et y = pi/2 en +infini. Sa série de Taylor a fourni la célèbre formule de Gregory-Leibniz pour pi.

James Gregory découvrit cette série en 1671 et John Machin l'utilisa en 1706 pour calculer 100 décimales de pi grâce à l'identité pi/4 = 4 arctan(1/5) - arctan(1/239).

« Enfermer l'étendue infinie des pentes réelles dans le lit paisible d'un intervalle borné. »

Filiations & Relations conceptuelles (0)

Cette notice constitue un axiome autonome sans relations directes enregistrées dans le recueil.

Objet de collection MathTCG

#289
★Commune
∫

Fonction arc tangente

Analyse•CONCEPT

Bijection réciproque de la restriction de la fonction tangente à l'intervalle ouvert ]-pi/2, pi/2[.

arctan⁡x=∫0xdt1+t2=∑n=0∞(−1)nx2n+12n+1\arctan x = \int_{0}^{x} \frac{dt}{1 + t^2} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1}
1671

Dans l'édition physique et numérique de MathTCG, cette carte appartient à l'extension Analysis & Infinity.

Extension : Analysis & Infinity (#089 / 100)
Numéro global MathTCG : MathTCG #289 / 500
Rareté officielle : Commune (★)
Domaine théorique : Analyse
Identifiant pérenne : fonction-arc-tangente
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