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MathTCG
#019 / 100•Algebra & Numbers•MathTCG #319 / 500•★★★Rare•ℤArithmétique•Concept

Fonction indicatrice d'Euler

Période historique : 1763

Fonction phi(n) comptant les entiers premiers avec n, cœur du théorème d'Euler et de RSA.

Contenu & Formulation mathématique

Définition rigoureuse
Fonction arithmétique comptant le nombre d'entiers k compris entre 1 et n tels que pgcd(k, n) = 1.
Notation usuelle & Exemples
\varphi(12) = |\{1, 5, 7, 11\}| = 4
φ(n)=n∏p∣n(1−1p),aφ(n)≡1(modn)\varphi(n) = n \prod_{p | n} \left( 1 - \frac{1}{p} \right), \quad a^{\varphi(n)} \equiv 1 \pmod n

Genèse & Portée historique

La fonction indicatrice phi(n) mesure le cardinal du groupe des inversibles de l'anneau Z/nZ. Elle est multiplicative et se calcule simplement à partir de la décomposition en facteurs premiers : phi(n) = n prod (1 - 1/p). Elle garantit que a^{phi(n)} = 1 (mod n) pour tout a premier avec n.

Introduite par Euler en 1763 pour généraliser le petit théorème de Fermat, Gauss introduisit la notation de la lettre grecque phi dans ses Disquisitiones Arithmeticae en 1801.

« Compter les coprimeaux pour déverrouiller la périodicité de l'arithmétique modulaire. »

Filiations & Relations conceptuelles (0)

Cette notice constitue un axiome autonome sans relations directes enregistrées dans le recueil.

Objet de collection MathTCG

#319
★★★Rare
ℤ

Fonction indicatrice d'Euler

Arithmétique•CONCEPT

Fonction arithmétique comptant le nombre d'entiers k compris entre 1 et n tels que pgcd(k, n) = 1.

φ(n)=n∏p∣n(1−1p),aφ(n)≡1(modn)\varphi(n) = n \prod_{p | n} \left( 1 - \frac{1}{p} \right), \quad a^{\varphi(n)} \equiv 1 \pmod n
1763

Dans l'édition physique et numérique de MathTCG, cette carte appartient à l'extension Algebra & Numbers.

Extension : Algebra & Numbers (#019 / 100)
Numéro global MathTCG : MathTCG #319 / 500
Rareté officielle : Rare (★★★)
Domaine théorique : Arithmétique
Identifiant pérenne : fonction-indicatrice-d-euler
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