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MathTCG
#003 / 100•Analysis & Infinity•MathTCG #203 / 500•★★★★★Légendaire•∫Analyse•Concept

Fonction Zêta de Riemann

Période historique : 1859

La fonction complexe fondamentale reliant l'analyse analytique à la distribution des nombres premiers.

Contenu & Formulation mathématique

Définition rigoureuse
Fonction holomorphe sur C \ {1} définie par prolongement analytique de la somme des inverses des puissances s-ièmes des entiers naturels.
Notation usuelle & Exemples
\zeta(s)
ζ(s)=∑n=1∞1ns=∏p premier11−p−s\zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s} = \prod_{p \text{ premier}} \frac{1}{1 - p^{-s}}

Genèse & Portée historique

Définie initialement pour Re(s) > 1 comme une série de Dirichlet, la fonction Zêta de Riemann admet un prolongement méromorphe unique à tout le plan complexe. Par son produit eulérien sur tous les nombres premiers et ses zéros non triviaux, elle détient les secrets arithmétiques ultimes.

Dans son unique article sur la théorie des nombres en 1859, Riemann a établi l'équation fonctionnelle liant zeta(s) à zeta(1-s) et a énoncé son hypothèse célèbre sur les zéros de partie réelle 1/2.

« Le miroir analytique où se reflète l'infinie mélodie des nombres premiers. »

Filiations & Relations conceptuelles (0)

Cette notice constitue un axiome autonome sans relations directes enregistrées dans le recueil.

Objet de collection MathTCG

#203
★★★★★Légendaire
∫

Fonction Zêta de Riemann

Analyse•CONCEPT

Fonction holomorphe sur C \ {1} définie par prolongement analytique de la somme des inverses des puissances s-ièmes des entiers naturels.

ζ(s)=∑n=1∞1ns=∏p premier11−p−s\zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s} = \prod_{p \text{ premier}} \frac{1}{1 - p^{-s}}
1859

Dans l'édition physique et numérique de MathTCG, cette carte appartient à l'extension Analysis & Infinity.

Extension : Analysis & Infinity (#003 / 100)
Numéro global MathTCG : MathTCG #203 / 500
Rareté officielle : Légendaire (★★★★★)
Domaine théorique : Analyse
Identifiant pérenne : fonction-zeta-de-riemann
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