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MathTCG
#035 / 100•Analysis & Infinity•MathTCG #235 / 500•★★Peu commune•∫Analyse•Théorème

Formule d'Euler-Maclaurin

Période historique : 1735

Le pont d'or reliant les sommes discrètes aux intégrales continues via les nombres de Bernoulli.

Contenu & Formulation mathématique

Hypothèses nécessaires
f fonction de classe C^{2m} sur le segment [a,b].
Énoncé formel
La somme discrète est égale à l'intégrale plus la moyenne des bornes et des termes correctifs pairs de Bernoulli.
∑i=abf(i)=∫abf(x) dx+f(a)+f(b)2+∑k=1mB2k(2k)!(f(2k−1)(b)−f(2k−1)(a))+Rm\sum_{i=a}^{b} f(i) = \int_{a}^{b} f(x)\,dx + \frac{f(a)+f(b)}{2} + \sum_{k=1}^{m} \frac{B_{2k}}{(2k)!} \left( f^{(2k-1)}(b) - f^{(2k-1)}(a) \right) + R_m

Genèse & Portée historique

Cette formule prodigieuse exprime la différence entre une somme discrète finie de valeurs d'une fonction et son intégrale continue correspondante sous forme d'une somme pondérée par les dérivées successives et les nombres de Bernoulli B_{2k}.

Découverte indépendamment par Euler en 1735 pour accélérer la convergence de zeta(s) et par Maclaurin en 1742, elle permet de calculer la constante d'Euler avec des dizaines de décimales.

« L'intégrale dessine le cours du fleuve ; les nombres de Bernoulli en corrigent chaque méandre discret. »

Filiations & Relations conceptuelles (0)

Cette notice constitue un axiome autonome sans relations directes enregistrées dans le recueil.

Objet de collection MathTCG

#235
★★Peu commune
∫

Formule d'Euler-Maclaurin

Analyse•THÉORÈME

Hypothèses : f fonction de classe C^{2m} sur le segment [a,b].

∑i=abf(i)=∫abf(x) dx+f(a)+f(b)2+∑k=1mB2k(2k)!(f(2k−1)(b)−f(2k−1)(a))+Rm\sum_{i=a}^{b} f(i) = \int_{a}^{b} f(x)\,dx + \frac{f(a)+f(b)}{2} + \sum_{k=1}^{m} \frac{B_{2k}}{(2k)!} \left( f^{(2k-1)}(b) - f^{(2k-1)}(a) \right) + R_m
1735

Dans l'édition physique et numérique de MathTCG, cette carte appartient à l'extension Analysis & Infinity.

Extension : Analysis & Infinity (#035 / 100)
Numéro global MathTCG : MathTCG #235 / 500
Rareté officielle : Peu commune (★★)
Domaine théorique : Analyse
Identifiant pérenne : formule-d-euler-maclaurin
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