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MathTCG
#091 / 100•Algebra & Numbers•MathTCG #391 / 500•★Commune•⊕Algèbre•Concept

Image d'une application linéaire

Période historique : XIXe siècle

Sous-espace d'arrivée formé des valeurs effectivement atteintes, caractérisant la surjectivité.

Contenu & Formulation mathématique

Définition rigoureuse
Sous-espace vectoriel de l'espace d'arrivée engendré par les images des vecteurs de base.
Notation usuelle & Exemples
\operatorname{Im}(f) = \operatorname{Vect}(f(e_1), \dots, f(e_n))
Im⁡(f)=f(E)={f(x)∣x∈E},dim⁡(Im⁡f)=rg⁡(f)\operatorname{Im}(f) = f(E) = \{ f(\mathbf{x}) \mid \mathbf{x} \in E \}, \quad \dim(\operatorname{Im} f) = \operatorname{rg}(f)

Genèse & Portée historique

L'image d'une application linéaire f : E -> F, notée Im(f), est le sous-espace vectoriel de F constitué des vecteurs de la forme f(x). L'application est surjective si et seulement si Im(f) = F. Sa dimension est le rang de l'application.

Pour une matrice, l'image correspond exactement à l'espace vectoriel engendré par la famille de ses vecteurs colonnes.

« L'empreinte géométrique réelle laissée par la transformation dans l'espace d'arrivée. »

Filiations & Relations conceptuelles (0)

Cette notice constitue un axiome autonome sans relations directes enregistrées dans le recueil.

Objet de collection MathTCG

#391
★Commune
⊕

Image d'une application linéaire

Algèbre•CONCEPT

Sous-espace vectoriel de l'espace d'arrivée engendré par les images des vecteurs de base.

Im⁡(f)=f(E)={f(x)∣x∈E},dim⁡(Im⁡f)=rg⁡(f)\operatorname{Im}(f) = f(E) = \{ f(\mathbf{x}) \mid \mathbf{x} \in E \}, \quad \dim(\operatorname{Im} f) = \operatorname{rg}(f)
XIXe siècle

Dans l'édition physique et numérique de MathTCG, cette carte appartient à l'extension Algebra & Numbers.

Extension : Algebra & Numbers (#091 / 100)
Numéro global MathTCG : MathTCG #391 / 500
Rareté officielle : Commune (★)
Domaine théorique : Algèbre
Identifiant pérenne : image-d-une-application-lineaire
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