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MathTCG
#071 / 100•Algebra & Numbers•MathTCG #371 / 500•★Commune•ℤArithmétique•Concept

Inverse modulaire

Période historique : 1801

Entier u satisfaisant a*u = 1 (mod n), calculable par l'algorithme d'Euclide étendu.

Contenu & Formulation mathématique

Définition rigoureuse
Élément symétrique pour la multiplication dans le groupe des inversibles (Z/nZ)*.
Notation usuelle & Exemples
3 \cdot 7 \equiv 21 \equiv 1 \pmod{10} \implies 3^{-1} \equiv 7
a⋅u≡1(modn)  ⟺  pgcd⁡(a,n)=1a \cdot u \equiv 1 \pmod n \iff \operatorname{pgcd}(a, n) = 1

Genèse & Portée historique

Un entier a admet un inverse modulo n si et seulement si a et n sont premiers entre eux. Cet inverse u permet de diviser modulo n en multipliant simplement par u, opération omniprésente dans la génération des clés RSA et le déchiffrement asymétrique.

Le calcul direct s'effectue en remontant les divisions successives de l'algorithme d'Euclide étendu pour en extraire le coefficient de Bézout.

« L'opposé multiplicatif qui ramène tout produit modulaire à l'unité. »

Filiations & Relations conceptuelles (0)

Cette notice constitue un axiome autonome sans relations directes enregistrées dans le recueil.

Objet de collection MathTCG

#371
★Commune
ℤ

Inverse modulaire

Arithmétique•CONCEPT

Élément symétrique pour la multiplication dans le groupe des inversibles (Z/nZ)*.

a⋅u≡1(modn)  ⟺  pgcd⁡(a,n)=1a \cdot u \equiv 1 \pmod n \iff \operatorname{pgcd}(a, n) = 1
1801

Dans l'édition physique et numérique de MathTCG, cette carte appartient à l'extension Algebra & Numbers.

Extension : Algebra & Numbers (#071 / 100)
Numéro global MathTCG : MathTCG #371 / 500
Rareté officielle : Commune (★)
Domaine théorique : Arithmétique
Identifiant pérenne : inverse-modulaire
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