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MathTCG
#050 / 100•Analysis & Infinity•MathTCG #250 / 500•★★Peu commune•∫Analyse•Concept

Laplacien

Période historique : 1782

Opérateur différentiel scalaire de divergence du gradient mesurant la courbure moyenne locale.

Contenu & Formulation mathématique

Définition rigoureuse
Opérateur différentiel linéaire du second ordre invariant par toutes les rotations et translations spatiales.
Notation usuelle & Exemples
\Delta f = \operatorname{div}(\operatorname{grad} f)
Δf=∇⋅(∇f)=∑i=1n∂2f∂xi2\Delta f = \nabla \cdot (\nabla f) = \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial^2 f}{\partial x_i^2}

Genèse & Portée historique

Noté Delta ou nabla^2, le laplacien est la trace de la matrice hessienne d'une fonction scalaire. Il mesure l'écart entre la valeur d'une fonction en un point et sa moyenne sur une petite sphère entourant ce point, régissant la diffusion, les ondes et la mécanique quantique.

Cœur battant de l'équation de Laplace, de l'équation de la chaleur, de l'équation des ondes et de l'équation de Schrödinger, c'est l'opérateur différentiel le plus fondamental de la physique mathématique.

« L'indicateur de concavité multidimensionnelle scannant la courbure de l'espace. »

Filiations & Relations conceptuelles (0)

Cette notice constitue un axiome autonome sans relations directes enregistrées dans le recueil.

Objet de collection MathTCG

#250
★★Peu commune
∫

Laplacien

Analyse•CONCEPT

Opérateur différentiel linéaire du second ordre invariant par toutes les rotations et translations spatiales.

Δf=∇⋅(∇f)=∑i=1n∂2f∂xi2\Delta f = \nabla \cdot (\nabla f) = \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial^2 f}{\partial x_i^2}
1782

Dans l'édition physique et numérique de MathTCG, cette carte appartient à l'extension Analysis & Infinity.

Extension : Analysis & Infinity (#050 / 100)
Numéro global MathTCG : MathTCG #250 / 500
Rareté officielle : Peu commune (★★)
Domaine théorique : Analyse
Identifiant pérenne : laplacien
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