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MathTCG
#055 / 100•Algebra & Numbers•MathTCG #355 / 500•★★Peu commune•ℤArithmétique•Théorème

Lemme de Gauss en arithmétique

Période historique : 1801

Si un entier divise un produit ab et est premier avec a, alors il divise nécessairement b.

Contenu & Formulation mathématique

Hypothèses nécessaires
a, b, c entiers relatifs avec c divisant le produit ab et c premier avec a.
Énoncé formel
c divise nécessairement b.
c∣abetpgcd⁡(a,c)=1  ⟹  c∣bc \mid ab \quad \text{et} \quad \operatorname{pgcd}(a, c) = 1 \implies c \mid b

Genèse & Portée historique

Corollaire immédiat et fondamental du théorème de Bézout, le lemme de Gauss affirme que l'absence de facteurs communs entre a et c oblige c à puiser l'intégralité de ses facteurs premiers au sein du second multiplicateur b.

Publié dans la section I des Disquisitiones Arithmeticae, ce résultat permet de prouver l'unicité de la décomposition en facteurs premiers (théorème fondamental de l'arithmétique).

« La divisibilité ne peut emprunter une porte fermée par la coprimalité. »

Filiations & Relations conceptuelles (0)

Cette notice constitue un axiome autonome sans relations directes enregistrées dans le recueil.

Objet de collection MathTCG

#355
★★Peu commune
ℤ

Lemme de Gauss en arithmétique

Arithmétique•THÉORÈME

Hypothèses : a, b, c entiers relatifs avec c divisant le produit ab et c premier avec a.

c∣abetpgcd⁡(a,c)=1  ⟹  c∣bc \mid ab \quad \text{et} \quad \operatorname{pgcd}(a, c) = 1 \implies c \mid b
1801

Dans l'édition physique et numérique de MathTCG, cette carte appartient à l'extension Algebra & Numbers.

Extension : Algebra & Numbers (#055 / 100)
Numéro global MathTCG : MathTCG #355 / 500
Rareté officielle : Peu commune (★★)
Domaine théorique : Arithmétique
Identifiant pérenne : lemme-de-gauss-en-arithmetique
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