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MathTCG
#049 / 100•Space, Chance & Computation•MathTCG #449 / 500•★★Peu commune•ℙProbabilités•Théorème

Loi faible des grands nombres

Période historique : 1713

La moyenne empirique d'un échantillon converge en probabilité vers l'espérance mathématique.

Contenu & Formulation mathématique

Hypothèses nécessaires
(X_n) suite de variables aléatoires i.i.d. réelles d'espérance finie μ.
Énoncé formel
La moyenne empirique d'un échantillon converge en probabilité vers l'espérance mathématique.
Xˉn=1n∑i=1nXi→n→∞Pμ:lim⁡n→∞P(∣Xˉn−μ∣≥ε)=0\bar{X}_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i \xrightarrow[n\to\infty]{\mathbb{P}} \mu : \quad \lim_{n\to\infty} \mathbb{P}(|\bar{X}_n - \mu| \ge \varepsilon) = 0

Genèse & Portée historique

Démontrée pour des épreuves de Bernoulli par Jacques Bernoulli puis généralisée par Khintchine et Tchebychev, la loi faible affirme que la probabilité que la moyenne des n premiers tirages s'écarte de l'espérance d'une valeur supérieure à epsilon tend vers 0 lorsque n tend vers l'infini.

Bernoulli mit plus de vingt ans à peaufiner sa preuve, conscient de toucher à l'énigme philosophique permettant de déduire une certitude théorique de la répétition d'observations empiriques.

« À force de répétitions, le tumulte des écarts individuels s'efface devant la régularité du tout. »

Filiations & Relations conceptuelles (0)

Cette notice constitue un axiome autonome sans relations directes enregistrées dans le recueil.

Objet de collection MathTCG

#449
★★Peu commune
ℙ

Loi faible des grands nombres

Probabilités•THÉORÈME

Hypothèses : (X_n) suite de variables aléatoires i.i.d. réelles d'espérance finie μ.

Xˉn=1n∑i=1nXi→n→∞Pμ:lim⁡n→∞P(∣Xˉn−μ∣≥ε)=0\bar{X}_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i \xrightarrow[n\to\infty]{\mathbb{P}} \mu : \quad \lim_{n\to\infty} \mathbb{P}(|\bar{X}_n - \mu| \ge \varepsilon) = 0
1713

Dans l'édition physique et numérique de MathTCG, cette carte appartient à l'extension Space, Chance & Computation.

Extension : Space, Chance & Computation (#049 / 100)
Numéro global MathTCG : MathTCG #449 / 500
Rareté officielle : Peu commune (★★)
Domaine théorique : Probabilités
Identifiant pérenne : loi-faible-des-grands-nombres
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