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MathTCG
#025 / 100•Space, Chance & Computation•MathTCG #425 / 500•★★★Rare•ℙProbabilités•Concept

Marche aléatoire

Période historique : 1905

Trajectoire stochastique modélisant le pas de l'ivrogne, récurrente en 1D et 2D, transitoire en 3D.

Contenu & Formulation mathématique

Définition rigoureuse
Trajectoire stochastique modélisant le pas de l'ivrogne, récurrente en 1D et 2D, transitoire en 3D.
Sn=∑i=1nXi,P(∃n≥1,Sn=0)=1  ⟺  d∈{1,2}S_n = \sum_{i=1}^n X_i, \quad \mathbb{P}(\exists n \ge 1, S_n = 0) = 1 \iff d \in \{1, 2\}

Genèse & Portée historique

Une marche aléatoire simple sur le réseau Z^d fait évoluer une particule en sautant vers un voisin immédiat avec une probabilité égale. D'après le théorème de Pólya (1921), la marche est récurrente en dimension 1 et 2 (la probabilité de revenir à l'origine est de 100%), mais transitoire en dimension d >= 3 (environ 34% de chance de retour en 3D).

Le mathématicien Shizuo Kakutani a résumé le théorème de Pólya par ce bon mot célèbre : « Un homme ivre rentrera toujours chez lui, mais un oiseau ivre risque de se perdre à jamais ».

« À chaque carrefour un jet de dé, tissant une toile brownienne à la dérive. »

Filiations & Relations conceptuelles (0)

Cette notice constitue un axiome autonome sans relations directes enregistrées dans le recueil.

Objet de collection MathTCG

#425
★★★Rare
ℙ

Marche aléatoire

Probabilités•CONCEPT

Trajectoire stochastique modélisant le pas de l'ivrogne, récurrente en 1D et 2D, transitoire en 3D.

Sn=∑i=1nXi,P(∃n≥1,Sn=0)=1  ⟺  d∈{1,2}S_n = \sum_{i=1}^n X_i, \quad \mathbb{P}(\exists n \ge 1, S_n = 0) = 1 \iff d \in \{1, 2\}
1905

Dans l'édition physique et numérique de MathTCG, cette carte appartient à l'extension Space, Chance & Computation.

Extension : Space, Chance & Computation (#025 / 100)
Numéro global MathTCG : MathTCG #425 / 500
Rareté officielle : Rare (★★★)
Domaine théorique : Probabilités
Identifiant pérenne : marche-aleatoire
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