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MathTCG
#075 / 100•Algebra & Numbers•MathTCG #375 / 500•★Commune•⊕Algèbre•Concept

Multiplicité d'une racine

Période historique : XVIIIe siècle

Exposant maximal k tel que (X - alpha)^k divise le polynôme P(X).

Contenu & Formulation mathématique

Définition rigoureuse
Ordre d'annulation du polynôme en un point régulier.
Notation usuelle & Exemples
P(X) = (X - \alpha)^k Q(X), \; Q(\alpha) \ne 0
P(α)=P′(α)=⋯=P(k−1)(α)=0etP(k)(α)≠0P(\alpha) = P'(\alpha) = \dots = P^{(k-1)}(\alpha) = 0 \quad \text{et} \quad P^{(k)}(\alpha) \ne 0

Genèse & Portée historique

Une racine alpha est de multiplicité k si (X - alpha)^k divise P mais (X - alpha)^{k+1} ne le divise pas. Cela équivaut à ce que la fonction et ses dérivées successives jusqu'à l'ordre k-1 s'annulent en alpha, tandis que la dérivée k-ième est non nulle.

Prendre en compte les multiplicités est indispensable pour que le théorème fondamental de l'algèbre et les relations de Viète soient rigoureusement exacts.

« L'ordre de contact infinitésimal où la courbe épouse l'axe horizontal avant de le franchir ou d'y rebondir. »

Filiations & Relations conceptuelles (0)

Cette notice constitue un axiome autonome sans relations directes enregistrées dans le recueil.

Objet de collection MathTCG

#375
★Commune
⊕

Multiplicité d'une racine

Algèbre•CONCEPT

Ordre d'annulation du polynôme en un point régulier.

P(α)=P′(α)=⋯=P(k−1)(α)=0etP(k)(α)≠0P(\alpha) = P'(\alpha) = \dots = P^{(k-1)}(\alpha) = 0 \quad \text{et} \quad P^{(k)}(\alpha) \ne 0
XVIIIe siècle

Dans l'édition physique et numérique de MathTCG, cette carte appartient à l'extension Algebra & Numbers.

Extension : Algebra & Numbers (#075 / 100)
Numéro global MathTCG : MathTCG #375 / 500
Rareté officielle : Commune (★)
Domaine théorique : Algèbre
Identifiant pérenne : multiplicite-d-une-racine
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