∑
MathTCG
#122 / 200•Foundations•MathTCG #122 / 500•★★★Rare•∫Analyse•Concept

Nombre réel

Période historique : XIXe siècle (Dedekind, Cantor)

Le continuum continu complet modélisant la droite numérique sans aucun trou ni discontinuité.

Contenu & Formulation mathématique

Définition rigoureuse
Ensemble ordonné complet vérifiant la propriété de la borne supérieure : toute partie non vide et majorée admet une borne supérieure.
Notation usuelle & Exemples
x \in \mathbb{R}, \quad \sqrt{2}, \pi, e, -\frac{3}{7} \in \mathbb{R}
R=Q∪(R∖Q),∀S⊂R majoreˊ,  ∃sup⁡(S)\mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup (\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}), \quad \forall S \subset \mathbb{R} \text{ majoré}, \; \exists \sup(S)

Genèse & Portée historique

Corps archimédien commutatif totalement ordonné et complet (au sens de Cauchy ou Dedekind), englobant les entiers, les rationnels et les irrationnels. L'ensemble ℝ matérialise l'espace continu nécessaire au calcul différentiel et intégral.

Pendant des siècles, la nature des nombres réels fut appréhendée intuitivement comme une ligne continue, jusqu'à ce que Richard Dedekind (coupures) et Georg Cantor (suites de Cauchy) n'en formalisent la construction rigoureuse dans les années 1870.

« La droite est pleine : nulle brèche ne subsiste entre les nombres du continuum. »

Filiations & Relations conceptuelles (0)

Cette notice constitue un axiome autonome sans relations directes enregistrées dans le recueil.

Objet de collection MathTCG

#122
★★★Rare
∫

Nombre réel

Analyse•CONCEPT

Ensemble ordonné complet vérifiant la propriété de la borne supérieure : toute partie non vide et majorée admet une borne supérieure.

R=Q∪(R∖Q),∀S⊂R majoreˊ,  ∃sup⁡(S)\mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup (\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}), \quad \forall S \subset \mathbb{R} \text{ majoré}, \; \exists \sup(S)
XIXe siècle (Dedekind, Cantor)

Dans l'édition physique et numérique de MathTCG, cette carte appartient à l'extension Foundations.

Extension : Foundations (#122 / 200)
Numéro global MathTCG : MathTCG #122 / 500
Rareté officielle : Rare (★★★)
Domaine théorique : Analyse
Identifiant pérenne : nombre-reel
Consulter mon classeurExplorer tout le recueil