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MathTCG
#036 / 100•Algebra & Numbers•MathTCG #336 / 500•★★Peu commune•ℤArithmétique•Concept

Nombres de Bernoulli

Période historique : 1713

Suite remarquable de rationnels reliant les sommes de puissances entières aux valeurs zêta paires.

Contenu & Formulation mathématique

Définition rigoureuse
Suite de nombres rationnels apparaissant dans les formules de faulhaber et les séries génératrices trigonométriques.
Notation usuelle & Exemples
B_{2k}
tet−1=∑k=0∞Bktkk!,B0=1,  B1=−12,  B2=16,  B4=−130\frac{t}{e^t - 1} = \sum_{k=0}^{\infty} B_k \frac{t^k}{k!}, \quad B_0=1,\; B_1=-\frac{1}{2},\; B_2=\frac{1}{6},\; B_4=-\frac{1}{30}

Genèse & Portée historique

Introduits par Jacques Bernoulli dans son Ars Conjectandi, les nombres B_k apparaissent dans le développement en série génératrice de t/(e^t - 1). Euler a démontré qu'ils expriment exactement les valeurs de la fonction Zêta aux entiers pairs : zeta(2k) = (-1)^{k-1} (2pi)^{2k} B_{2k} / (2(2k)!).

Ada Lovelace a écrit en 1843 le premier programme informatique de l'histoire pour la machine analytique de Babbage précisément pour calculer les nombres de Bernoulli.

« La signature rationnelle universelle qui gouverne la somme des puissances et les valeurs de zêta. »

Filiations & Relations conceptuelles (0)

Cette notice constitue un axiome autonome sans relations directes enregistrées dans le recueil.

Objet de collection MathTCG

#336
★★Peu commune
ℤ

Nombres de Bernoulli

Arithmétique•CONCEPT

Suite de nombres rationnels apparaissant dans les formules de faulhaber et les séries génératrices trigonométriques.

tet−1=∑k=0∞Bktkk!,B0=1,  B1=−12,  B2=16,  B4=−130\frac{t}{e^t - 1} = \sum_{k=0}^{\infty} B_k \frac{t^k}{k!}, \quad B_0=1,\; B_1=-\frac{1}{2},\; B_2=\frac{1}{6},\; B_4=-\frac{1}{30}
1713

Dans l'édition physique et numérique de MathTCG, cette carte appartient à l'extension Algebra & Numbers.

Extension : Algebra & Numbers (#036 / 100)
Numéro global MathTCG : MathTCG #336 / 500
Rareté officielle : Peu commune (★★)
Domaine théorique : Arithmétique
Identifiant pérenne : nombres-de-bernoulli
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