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MathTCG
#009 / 100•Algebra & Numbers•MathTCG #309 / 500•★★★★Épique•ℤArithmétique•Concept

Nombres transcendants

Période historique : 1844

Nombres qui ne sont racines d'aucun polynôme non nul à coefficients rationnels.

Contenu & Formulation mathématique

Définition rigoureuse
Nombres réels ou complexes n'appartenant pas à la clôture algébrique de Q.
Notation usuelle & Exemples
e, \; \pi, \; 2^{\sqrt{2}}
x∈C∖Q‾  ⟺  ∀P∈Q[X]∖{0},  P(x)≠0x \in \mathbb{C} \setminus \overline{\mathbb{Q}} \iff \forall P \in \mathbb{Q}[X] \setminus \{0\},\; P(x) \ne 0

Genèse & Portée historique

Par opposition aux nombres algébriques, un nombre transcendant échappe à toute équation polynomiale finie. Bien que Cantor ait démontré qu'ils forment l'écrasante quasi-totalité des nombres réels (non dénombrabilité), prouver la transcendance d'un nombre particulier (comme e ou pi) requiert une ingéniosité prodigieuse.

Joseph Liouville prouva leur existence en 1844, Hermite prouva la transcendance de e en 1873 et Lindemann celle de pi en 1882, résolvant le problème antique de la quadrature du cercle.

« Les géants silencieux qui peuplent le continu sans jamais se laisser capturer par un polynôme. »

Filiations & Relations conceptuelles (0)

Cette notice constitue un axiome autonome sans relations directes enregistrées dans le recueil.

Objet de collection MathTCG

#309
★★★★Épique
ℤ

Nombres transcendants

Arithmétique•CONCEPT

Nombres réels ou complexes n'appartenant pas à la clôture algébrique de Q.

x∈C∖Q‾  ⟺  ∀P∈Q[X]∖{0},  P(x)≠0x \in \mathbb{C} \setminus \overline{\mathbb{Q}} \iff \forall P \in \mathbb{Q}[X] \setminus \{0\},\; P(x) \ne 0
1844

Dans l'édition physique et numérique de MathTCG, cette carte appartient à l'extension Algebra & Numbers.

Extension : Algebra & Numbers (#009 / 100)
Numéro global MathTCG : MathTCG #309 / 500
Rareté officielle : Épique (★★★★)
Domaine théorique : Arithmétique
Identifiant pérenne : nombres-transcendants
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