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MathTCG
#095 / 100•Algebra & Numbers•MathTCG #395 / 500•★Commune•⊕Algèbre•Concept

Ordre d'un élément

Période historique : 1799

Le plus petit entier k > 0 tel que g^k soit égal à l'élément neutre dans un groupe.

Contenu & Formulation mathématique

Définition rigoureuse
Période fondamentale de l'élément sous l'action de la loi de groupe.
Notation usuelle & Exemples
|\langle g \rangle| = \operatorname{ord}(g)
ord⁡(g)=min⁡{k∈N∗∣gk=e},ord⁡(g)∣∣G∣\operatorname{ord}(g) = \min \{ k \in \mathbb{N}^* \mid g^k = e \}, \quad \operatorname{ord}(g) \mid |G|

Genèse & Portée historique

L'ordre d'un élément g est le cardinal du sous-groupe cyclique engendré par g. Dans un groupe fini, l'ordre de tout élément divise l'ordre du groupe (théorème de Lagrange), ce qui garantit que g^{|G|} = e pour tout g.

Cette propriété fournit la démonstration algébrique la plus concise du petit théorème de Fermat en prenant le groupe multiplicatif (Z/pZ)* d'ordre p-1.

« Le nombre exact d'itérations nécessaires pour boucler la boucle et retrouver l'origine. »

Filiations & Relations conceptuelles (0)

Cette notice constitue un axiome autonome sans relations directes enregistrées dans le recueil.

Objet de collection MathTCG

#395
★Commune
⊕

Ordre d'un élément

Algèbre•CONCEPT

Période fondamentale de l'élément sous l'action de la loi de groupe.

ord⁡(g)=min⁡{k∈N∗∣gk=e},ord⁡(g)∣∣G∣\operatorname{ord}(g) = \min \{ k \in \mathbb{N}^* \mid g^k = e \}, \quad \operatorname{ord}(g) \mid |G|
1799

Dans l'édition physique et numérique de MathTCG, cette carte appartient à l'extension Algebra & Numbers.

Extension : Algebra & Numbers (#095 / 100)
Numéro global MathTCG : MathTCG #395 / 500
Rareté officielle : Commune (★)
Domaine théorique : Algèbre
Identifiant pérenne : ordre-d-un-element
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