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MathTCG
#053 / 100•Algebra & Numbers•MathTCG #353 / 500•★★Peu commune•⊦Maths Discrètes•Concept

Partitions d'entiers

Période historique : 1748

Nombre p(n) de façons d'écrire un entier comme somme d'entiers positifs sans tenir compte de l'ordre.

Contenu & Formulation mathématique

Définition rigoureuse
Fonction combinatoire évaluant le nombre de représentations additives d'un entier sans ordre.
Notation usuelle & Exemples
4 = 4 = 3+1 = 2+2 = 2+1+1 = 1+1+1+1 \implies p(4) = 5
∑n=0∞p(n)qn=∏k=1∞11−qk,p(n)∼14n3eπ2n3\sum_{n=0}^{\infty} p(n) q^n = \prod_{k=1}^{\infty} \frac{1}{1 - q^k}, \quad p(n) \sim \frac{1}{4n\sqrt{3}} e^{\pi \sqrt{\frac{2n}{3}}}

Genèse & Portée historique

La fonction de partition p(n) croît à une vitesse vertigineuse (p(4)=5, p(5)=7, p(10)=42, p(100)=190569292). Euler a découvert sa fonction génératrice sous forme d'un produit infini renversant, et Ramanujan a établi en 1918 sa formule asymptotique avec Hardy.

Ramanujan a découvert les célèbres congruences de Ramanujan observant que p(5n+4) est toujours divisible par 5, p(7n+5) par 7 et p(11n+6) par 11.

« Dénombrer toutes les manières dont les nombres s'assemblent pour former l'entier. »

Filiations & Relations conceptuelles (0)

Cette notice constitue un axiome autonome sans relations directes enregistrées dans le recueil.

Objet de collection MathTCG

#353
★★Peu commune
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Partitions d'entiers

Maths Discrètes•CONCEPT

Fonction combinatoire évaluant le nombre de représentations additives d'un entier sans ordre.

∑n=0∞p(n)qn=∏k=1∞11−qk,p(n)∼14n3eπ2n3\sum_{n=0}^{\infty} p(n) q^n = \prod_{k=1}^{\infty} \frac{1}{1 - q^k}, \quad p(n) \sim \frac{1}{4n\sqrt{3}} e^{\pi \sqrt{\frac{2n}{3}}}
1748

Dans l'édition physique et numérique de MathTCG, cette carte appartient à l'extension Algebra & Numbers.

Extension : Algebra & Numbers (#053 / 100)
Numéro global MathTCG : MathTCG #353 / 500
Rareté officielle : Peu commune (★★)
Domaine théorique : Maths Discrètes
Identifiant pérenne : partitions-d-entiers
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