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MathTCG
#021 / 100•Algebra & Numbers•MathTCG #321 / 500•★★★Rare•⊕Algèbre•Concept

Polynôme cyclotomique

Période historique : 1801

Polynôme irréductible unitaire à coefficients entiers dont les racines sont les racines primitives n-ièmes de l'unité.

Contenu & Formulation mathématique

Définition rigoureuse
Polynôme irréductible sur Q dont les racines complexes sont exactement les racines primitives n-ièmes de 1.
Notation usuelle & Exemples
\Phi_4(X) = X^2 + 1
Φn(X)=∏1≤k≤npgcd⁡(k,n)=1(X−e2πik/n)∈Z[X]\Phi_n(X) = \prod_{\substack{1 \le k \le n \\ \operatorname{pgcd}(k, n) = 1}} \left( X - e^{2\pi i k / n} \right) \in \mathbb{Z}[X]

Genèse & Portée historique

Noté Phi_n(X), son degré est égal à phi(n) (l'indicatrice d'Euler). Les polynômes cyclotomiques fournissent la décomposition canonique de X^n - 1 en facteurs irréductibles sur Q et régissent la constructibilité des polygones réguliers de Gauss.

Gauss les a étudiés dans la section VII des Disquisitiones Arithmeticae pour prouver qu'un polygone régulier à 17 côtés (heptadécagone) est constructible à la règle et au compas.

« Découper le cercle en parts égales par les coefficients irréductibles de l'algèbre. »

Filiations & Relations conceptuelles (0)

Cette notice constitue un axiome autonome sans relations directes enregistrées dans le recueil.

Objet de collection MathTCG

#321
★★★Rare
⊕

Polynôme cyclotomique

Algèbre•CONCEPT

Polynôme irréductible sur Q dont les racines complexes sont exactement les racines primitives n-ièmes de 1.

Φn(X)=∏1≤k≤npgcd⁡(k,n)=1(X−e2πik/n)∈Z[X]\Phi_n(X) = \prod_{\substack{1 \le k \le n \\ \operatorname{pgcd}(k, n) = 1}} \left( X - e^{2\pi i k / n} \right) \in \mathbb{Z}[X]
1801

Dans l'édition physique et numérique de MathTCG, cette carte appartient à l'extension Algebra & Numbers.

Extension : Algebra & Numbers (#021 / 100)
Numéro global MathTCG : MathTCG #321 / 500
Rareté officielle : Rare (★★★)
Domaine théorique : Algèbre
Identifiant pérenne : polynome-cyclotomique
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