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MathTCG
#069 / 100•Analysis & Infinity•MathTCG #269 / 500•★Commune•∫Analyse•Concept

Produit infini

Période historique : 1593

Multiplication d'une suite infinie de facteurs, analogue multiplicatif direct des séries.

Contenu & Formulation mathématique

Définition rigoureuse
Limite de la suite des produits partiels finis de nombres réels ou complexes non nuls.
Notation usuelle & Exemples
\frac{\sin(\pi z)}{\pi z} = \prod_{n=1}^\infty \left(1 - \frac{z^2}{n^2}\right)
∏n=1∞(1+an)=lim⁡N→∞∏n=1N(1+an)\prod_{n=1}^{\infty} (1 + a_n) = \lim_{N \to \infty} \prod_{n=1}^{N} (1 + a_n)

Genèse & Portée historique

Noté avec la lettre majuscule Pi, un produit infini de facteurs (1 + a_n) converge vers une valeur non nulle si et seulement si la série des logarithmes ln(1 + a_n) converge. Euler l'a employé pour factoriser la fonction sinus en un produit infini de racines.

La première formule analytique exacte de l'histoire pour pi fut le produit infini de François Viète en 1593 à base de racines carrées imbriquées.

« Chaque terme s'approche de l'unité pour figer la multiplication vers une limite stable. »

Filiations & Relations conceptuelles (0)

Cette notice constitue un axiome autonome sans relations directes enregistrées dans le recueil.

Objet de collection MathTCG

#269
★Commune
∫

Produit infini

Analyse•CONCEPT

Limite de la suite des produits partiels finis de nombres réels ou complexes non nuls.

∏n=1∞(1+an)=lim⁡N→∞∏n=1N(1+an)\prod_{n=1}^{\infty} (1 + a_n) = \lim_{N \to \infty} \prod_{n=1}^{N} (1 + a_n)
1593

Dans l'édition physique et numérique de MathTCG, cette carte appartient à l'extension Analysis & Infinity.

Extension : Analysis & Infinity (#069 / 100)
Numéro global MathTCG : MathTCG #269 / 500
Rareté officielle : Commune (★)
Domaine théorique : Analyse
Identifiant pérenne : produit-infini
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