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MathTCG
#025 / 100•Analysis & Infinity•MathTCG #225 / 500•★★★Rare•∫Analyse•Concept

Rayon de convergence

Période historique : 1821

Le rayon du disque du plan complexe délimitant la frontière absolue de sommabilité d'une série entière.

Contenu & Formulation mathématique

Définition rigoureuse
Borne supérieure des rayons des disques ouverts sur lesquels une série entière converge absolument.
Notation usuelle & Exemples
R \in [0, +\infty]
1R=lim sup⁡n→∞∣an∣n\frac{1}{R} = \limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}

Genèse & Portée historique

Pour toute série entière sum a_n z^n, il existe un unique rayon R dans [0, +infini] tel que la série converge absolument pour |z| < R et diverge pour |z| > R. La formule de Cauchy-Hadamard permet d'évaluer exactement ce rayon par la limite supérieure des racines n-ièmes.

Jacques Hadamard a clarifié en 1888 la formule de Cauchy de 1821 en introduisant rigoureusement la limite supérieure, permettant de résoudre les cas où les coefficients oscillent.

« Un cercle parfait sépare le domaine de la convergence féconde du gouffre de la divergence. »

Filiations & Relations conceptuelles (0)

Cette notice constitue un axiome autonome sans relations directes enregistrées dans le recueil.

Objet de collection MathTCG

#225
★★★Rare
∫

Rayon de convergence

Analyse•CONCEPT

Borne supérieure des rayons des disques ouverts sur lesquels une série entière converge absolument.

1R=lim sup⁡n→∞∣an∣n\frac{1}{R} = \limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}
1821

Dans l'édition physique et numérique de MathTCG, cette carte appartient à l'extension Analysis & Infinity.

Extension : Analysis & Infinity (#025 / 100)
Numéro global MathTCG : MathTCG #225 / 500
Rareté officielle : Rare (★★★)
Domaine théorique : Analyse
Identifiant pérenne : rayon-de-convergence
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