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MathTCG
#043 / 100•Algebra & Numbers•MathTCG #343 / 500•★★Peu commune•ℤArithmétique•Théorème

Réciprocité quadratique

Période historique : 1796

Le "theorema aureum" de Gauss reliant la résolubilité des carrés modulo deux nombres premiers impairs distincts.

Contenu & Formulation mathématique

Hypothèses nécessaires
p et q nombres premiers impairs distincts.
Énoncé formel
Le produit des symboles de Legendre (p/q) et (q/p) dépend exclusivement de leur congruence modulo 4.
(pq)(qp)=(−1)p−12q−12\left( \frac{p}{q} \right) \left( \frac{q}{p} \right) = (-1)^{\frac{p-1}{2} \frac{q-1}{2}}

Genèse & Portée historique

Utilisant le symbole de Legendre (p/q), la loi de réciprocité quadratique stipule que (p/q)(q/p) = (-1)^{(p-1)(q-1)/4}. Ainsi, p est un carré modulo q si et seulement si q est un carré modulo p, sauf si p et q sont tous deux congrus à 3 modulo 4 (auquel cas les réponses sont opposées).

Gauss l'a découverte à 19 ans en 1796 et en était si fier qu'il l'a baptisée son théorème doré (theorema aureum) et en a publié 8 démonstrations complètement différentes au cours de sa vie.

« Un miroir arithmétique parfait reliant le destin des résidus quadratiques entre deux premiers. »

Filiations & Relations conceptuelles (0)

Cette notice constitue un axiome autonome sans relations directes enregistrées dans le recueil.

Objet de collection MathTCG

#343
★★Peu commune
ℤ

Réciprocité quadratique

Arithmétique•THÉORÈME

Hypothèses : p et q nombres premiers impairs distincts.

(pq)(qp)=(−1)p−12q−12\left( \frac{p}{q} \right) \left( \frac{q}{p} \right) = (-1)^{\frac{p-1}{2} \frac{q-1}{2}}
1796

Dans l'édition physique et numérique de MathTCG, cette carte appartient à l'extension Algebra & Numbers.

Extension : Algebra & Numbers (#043 / 100)
Numéro global MathTCG : MathTCG #343 / 500
Rareté officielle : Peu commune (★★)
Domaine théorique : Arithmétique
Identifiant pérenne : reciprocite-quadratique
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