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MathTCG
#042 / 100•Analysis & Infinity•MathTCG #242 / 500•★★Peu commune•∫Analyse•Méthode & Idée

Règle de Cauchy pour les séries

Période historique : 1821

Test de la racine n-ième pour établir la convergence absolue des séries positives.

Contenu & Formulation mathématique

Principe de la démarche
Encadrement géométrique de la suite des modules par la racine n-ième supérieure.
Champs d'application canoniques
Séries à puissances n-ièmes comme sum (1 - 1/n)^{n^2}.
lim⁡n→∞∣an∣n=L{L<1  ⟹  ConvergenceL>1  ⟹  Divergence\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} = L \quad \begin{cases} L < 1 \implies \text{Convergence} \\ L > 1 \implies \text{Divergence} \end{cases}

Genèse & Portée historique

Si la racine n-ième de |a_n| tend vers une limite L, la série sum a_n converge absolument si L < 1 et diverge si L > 1. Ce test est théoriquement plus puissant que la règle de d'Alembert car il s'applique dès que la limite supérieure existe, même si le quotient u_{n+1}/u_n oscille.

Présenté par Cauchy dans son Cours d'Analyse de 1821, ce critère constitue la base directe de la formule de Cauchy-Hadamard pour le rayon de convergence des séries entières.

« Extraire la racine d'ordre infini pour révéler la vitesse d'atténuation intrinsèque. »

Filiations & Relations conceptuelles (0)

Cette notice constitue un axiome autonome sans relations directes enregistrées dans le recueil.

Objet de collection MathTCG

#242
★★Peu commune
∫

Règle de Cauchy pour les séries

Analyse•MÉTHODE

Principe : Encadrement géométrique de la suite des modules par la racine n-ième supérieure.

lim⁡n→∞∣an∣n=L{L<1  ⟹  ConvergenceL>1  ⟹  Divergence\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} = L \quad \begin{cases} L < 1 \implies \text{Convergence} \\ L > 1 \implies \text{Divergence} \end{cases}
1821

Dans l'édition physique et numérique de MathTCG, cette carte appartient à l'extension Analysis & Infinity.

Extension : Analysis & Infinity (#042 / 100)
Numéro global MathTCG : MathTCG #242 / 500
Rareté officielle : Peu commune (★★)
Domaine théorique : Analyse
Identifiant pérenne : regle-de-cauchy-pour-les-series
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