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MathTCG
#044 / 100•Analysis & Infinity•MathTCG #244 / 500•★★Peu commune•∫Analyse•Concept

Série alternée

Période historique : 1682

Série dont les termes changent alternativement de signe, gouvernée par la règle de Leibniz.

Contenu & Formulation mathématique

Définition rigoureuse
Série numérique dont le terme général s'écrit (-1)^n a_n avec a_n positif.
Notation usuelle & Exemples
S = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n} = \ln 2
∑n=0∞(−1)nan converge si an≥an+1≥0 et lim⁡n→∞an=0\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n a_n \text{ converge si } a_n \ge a_{n+1} \ge 0 \text{ et } \lim_{n \to \infty} a_n = 0

Genèse & Portée historique

Si la suite positive a_n décroît de façon monotone vers zéro, alors la série alternée sum (-1)^n a_n converge. De plus, le reste d'ordre n est borné en valeur absolue par le premier terme négligé a_{n+1}, offrant un encadrement d'erreur immédiat.

Gottfried Wilhelm Leibniz a découvert cette règle en 1682 en calculant la célèbre formule pi/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + ...

« Les oscillations opposées s'amortissent mutuellement jusqu'au repos parfait de la limite. »

Filiations & Relations conceptuelles (0)

Cette notice constitue un axiome autonome sans relations directes enregistrées dans le recueil.

Objet de collection MathTCG

#244
★★Peu commune
∫

Série alternée

Analyse•CONCEPT

Série numérique dont le terme général s'écrit (-1)^n a_n avec a_n positif.

∑n=0∞(−1)nan converge si an≥an+1≥0 et lim⁡n→∞an=0\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n a_n \text{ converge si } a_n \ge a_{n+1} \ge 0 \text{ et } \lim_{n \to \infty} a_n = 0
1682

Dans l'édition physique et numérique de MathTCG, cette carte appartient à l'extension Analysis & Infinity.

Extension : Analysis & Infinity (#044 / 100)
Numéro global MathTCG : MathTCG #244 / 500
Rareté officielle : Peu commune (★★)
Domaine théorique : Analyse
Identifiant pérenne : serie-alternee
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