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MathTCG
#067 / 100•Analysis & Infinity•MathTCG #267 / 500•★Commune•∫Analyse•Concept

Série géométrique

Période historique : Antiquité

Somme infinie des puissances d'une raison q convergeant vers 1/(1-q) dès que |q| < 1.

Contenu & Formulation mathématique

Définition rigoureuse
Série dont chaque terme se déduit du précédent par multiplication par une raison fixe q.
Notation usuelle & Exemples
S_n = \sum_{k=0}^n q^k = \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}
∑n=0∞qn=11−q  ⟺  ∣q∣<1\sum_{n=0}^{\infty} q^n = \frac{1}{1 - q} \quad \iff \quad |q| < 1

Genèse & Portée historique

Archétype absolu de toute série convergente, la série géométrique sum q^n calcule la somme cumulée de réductions proportionnelles successives. Utilisée dès Archimède pour la quadrature de la parabole, elle est la brique de comparaison élémentaire de tout test de sommabilité.

Le paradoxe de la flèche de Zénon d'Élée se résout mathématiquement par la convergence d'une série géométrique de raison 1/2 dont la somme infinie vaut exactement 1.

« Une infinité de pas décroissants franchissant une distance finie en un temps compté. »

Filiations & Relations conceptuelles (0)

Cette notice constitue un axiome autonome sans relations directes enregistrées dans le recueil.

Objet de collection MathTCG

#267
★Commune
∫

Série géométrique

Analyse•CONCEPT

Série dont chaque terme se déduit du précédent par multiplication par une raison fixe q.

∑n=0∞qn=11−q  ⟺  ∣q∣<1\sum_{n=0}^{\infty} q^n = \frac{1}{1 - q} \quad \iff \quad |q| < 1
Antiquité

Dans l'édition physique et numérique de MathTCG, cette carte appartient à l'extension Analysis & Infinity.

Extension : Analysis & Infinity (#067 / 100)
Numéro global MathTCG : MathTCG #267 / 500
Rareté officielle : Commune (★)
Domaine théorique : Analyse
Identifiant pérenne : serie-geometrique
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