∑
MathTCG
#038 / 100•Analysis & Infinity•MathTCG #238 / 500•★★Peu commune•∫Analyse•Théorème

Théorème d'approximation de Weierstrass

Période historique : 1885

Toute fonction continue sur un segment réel est limite uniforme d'une suite de polynômes.

Contenu & Formulation mathématique

Hypothèses nécessaires
f continue sur un segment [a,b] réel.
Énoncé formel
f est limite uniforme d'une suite de fonctions polynomiales sur [a,b].
∀f∈C([a,b]),  ∀ε>0,  ∃P∈R[X],  sup⁡x∈[a,b]∣f(x)−P(x)∣<ε\forall f \in C([a, b]),\; \forall \varepsilon > 0,\; \exists P \in \mathbb{R}[X],\; \sup_{x \in [a, b]} |f(x) - P(x)| < \varepsilon

Genèse & Portée historique

Ce théorème établit la densité de l'anneau des fonctions polynomiales dans l'espace de Banach des fonctions continues sur un intervalle fermé borné muni de la norme uniforme. Sergueï Bernstein en donna une preuve probabiliste magnifique via les polynômes de Bernstein.

Publié par Weierstrass en 1885 à l'âge de 70 ans, ce résultat fut généralisé en topologie générale par Marshall Stone (théorème de Stone-Weierstrass).

« Même la courbe la plus tourmentée peut être adoucie par la grâce docile d'un polynôme. »

Filiations & Relations conceptuelles (0)

Cette notice constitue un axiome autonome sans relations directes enregistrées dans le recueil.

Objet de collection MathTCG

#238
★★Peu commune
∫

Théorème d'approximation de Weierstrass

Analyse•THÉORÈME

Hypothèses : f continue sur un segment [a,b] réel.

∀f∈C([a,b]),  ∀ε>0,  ∃P∈R[X],  sup⁡x∈[a,b]∣f(x)−P(x)∣<ε\forall f \in C([a, b]),\; \forall \varepsilon > 0,\; \exists P \in \mathbb{R}[X],\; \sup_{x \in [a, b]} |f(x) - P(x)| < \varepsilon
1885

Dans l'édition physique et numérique de MathTCG, cette carte appartient à l'extension Analysis & Infinity.

Extension : Analysis & Infinity (#038 / 100)
Numéro global MathTCG : MathTCG #238 / 500
Rareté officielle : Peu commune (★★)
Domaine théorique : Analyse
Identifiant pérenne : theoreme-d-approximation-de-weierstrass
Consulter mon classeurExplorer tout le recueil