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MathTCG
#037 / 100•Analysis & Infinity•MathTCG #237 / 500•★★Peu commune•∫Analyse•Théorème

Théorème d'Arzelà-Ascoli

Période historique : 1889

Critère universel de compacité pour les familles de fonctions équicontinues et uniformément bornées.

Contenu & Formulation mathématique

Hypothèses nécessaires
Famille F de fonctions continues d'un compact K dans R, uniformément bornée et équicontinue.
Énoncé formel
L'adhérence de F est compacte pour la convergence uniforme.
∀ε>0,  ∃δ>0,  d(x,y)<δ  ⟹  ∀f∈F,  ∣f(x)−f(y)∣<ε\forall \varepsilon > 0,\; \exists \delta > 0,\; d(x,y) < \delta \implies \forall f \in \mathcal{F},\; |f(x) - f(y)| < \varepsilon

Genèse & Portée historique

Dans l'espace des fonctions continues sur un compact métrique, une famille de fonctions est relativement compacte si et seulement si elle est uniformément bornée et équicontinue. De toute suite vérifiant ces critères, on peut extraire une sous-suite uniformément convergente.

Formulé par Cesare Arzelà en 1889 en étendant les travaux de Giulio Ascoli de 1883, ce résultat est le pivot central de la méthode de Peano pour les EDO et du calcul des variations.

« Quand une foule de fonctions vibre au même rythme tempéré, l'harmonie de la compacité émerge. »

Filiations & Relations conceptuelles (0)

Cette notice constitue un axiome autonome sans relations directes enregistrées dans le recueil.

Objet de collection MathTCG

#237
★★Peu commune
∫

Théorème d'Arzelà-Ascoli

Analyse•THÉORÈME

Hypothèses : Famille F de fonctions continues d'un compact K dans R, uniformément bornée et équicontinue.

∀ε>0,  ∃δ>0,  d(x,y)<δ  ⟹  ∀f∈F,  ∣f(x)−f(y)∣<ε\forall \varepsilon > 0,\; \exists \delta > 0,\; d(x,y) < \delta \implies \forall f \in \mathcal{F},\; |f(x) - f(y)| < \varepsilon
1889

Dans l'édition physique et numérique de MathTCG, cette carte appartient à l'extension Analysis & Infinity.

Extension : Analysis & Infinity (#037 / 100)
Numéro global MathTCG : MathTCG #237 / 500
Rareté officielle : Peu commune (★★)
Domaine théorique : Analyse
Identifiant pérenne : theoreme-d-arzela-ascoli
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