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MathTCG
#055 / 100•Analysis & Infinity•MathTCG #255 / 500•★★Peu commune•∫Analyse•Théorème

Théorème de Baire

Période historique : 1899

Dans un espace métrique complet, toute intersection dénombrable d'ouverts denses reste dense.

Contenu & Formulation mathématique

Hypothèses nécessaires
E espace métrique complet (ou localement compact), et (O_n) suite d'ouverts denses dans E.
Énoncé formel
L'intersection dénombrable des O_n est dense dans E.
E complet et On ouverts denses  ⟹  ⋂n=1∞On est dense dans EE \text{ complet et } O_n \text{ ouverts denses} \implies \bigcap_{n=1}^{\infty} O_n \text{ est dense dans } E

Genèse & Portée historique

Le théorème des catégories de René Baire prouve qu'un espace métrique complet ne peut pas être décomposé en une réunion dénombrable de parties d'intérieur vide (fermés rares). C'est l'un des leviers d'existence non constructive les plus redoutables de toute l'analyse fonctionnelle.

Grâce à ce théorème, Banach a pu démontrer en une ligne l'existence de fonctions continues partout et dérivables nulle part, montrant que ces monstres sont en fait génériques au sens topologique.

« Le plein complet ne peut être rongé par une poussière dénombrable de néants. »

Filiations & Relations conceptuelles (0)

Cette notice constitue un axiome autonome sans relations directes enregistrées dans le recueil.

Objet de collection MathTCG

#255
★★Peu commune
∫

Théorème de Baire

Analyse•THÉORÈME

Hypothèses : E espace métrique complet (ou localement compact), et (O_n) suite d'ouverts denses dans E.

E complet et On ouverts denses  ⟹  ⋂n=1∞On est dense dans EE \text{ complet et } O_n \text{ ouverts denses} \implies \bigcap_{n=1}^{\infty} O_n \text{ est dense dans } E
1899

Dans l'édition physique et numérique de MathTCG, cette carte appartient à l'extension Analysis & Infinity.

Extension : Analysis & Infinity (#055 / 100)
Numéro global MathTCG : MathTCG #255 / 500
Rareté officielle : Peu commune (★★)
Domaine théorique : Analyse
Identifiant pérenne : theoreme-de-baire
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