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MathTCG
#036 / 100•Analysis & Infinity•MathTCG #236 / 500•★★Peu commune•∫Analyse•Théorème

Théorème de Cauchy-Lipschitz

Période historique : 1824 - 1876

Théorème fondamental assurant l'existence et l'unicité locale des solutions d'une équation différentielle.

Contenu & Formulation mathématique

Hypothèses nécessaires
f(t,y) continue et localement lipschitzienne en y sur un ouvert U.
Énoncé formel
Il existe une unique solution maximale au problème de Cauchy satisfaisant y(t0) = y0.
{y′(t)=f(t,y(t))y(t0)=y0  ⟹  ∃! y∈C1(I)\begin{cases} y'(t) = f(t, y(t)) \\ y(t_0) = y_0 \end{cases} \implies \exists !\, y \in C^1(I)

Genèse & Portée historique

Si le champ de vecteurs d'une EDO y' = f(t,y) est continu et localement lipschitzien par rapport à la variable d'espace, alors pour toute condition initiale (t0, y0), il existe une solution unique maximale sur un intervalle ouvert.

Démontré par Cauchy en 1824 à l'aide d'approximations affines (méthode d'Euler-Cauchy), il fut perfectionné par Rudolf Lipschitz en affaiblissant l'hypothèse de dérivabilité à celle de lipschitzianité.

« D'une condition initiale fixe jaillit une trajectoire déterministe unique et inéluctable. »

Filiations & Relations conceptuelles (0)

Cette notice constitue un axiome autonome sans relations directes enregistrées dans le recueil.

Objet de collection MathTCG

#236
★★Peu commune
∫

Théorème de Cauchy-Lipschitz

Analyse•THÉORÈME

Hypothèses : f(t,y) continue et localement lipschitzienne en y sur un ouvert U.

{y′(t)=f(t,y(t))y(t0)=y0  ⟹  ∃! y∈C1(I)\begin{cases} y'(t) = f(t, y(t)) \\ y(t_0) = y_0 \end{cases} \implies \exists !\, y \in C^1(I)
1824 - 1876

Dans l'édition physique et numérique de MathTCG, cette carte appartient à l'extension Analysis & Infinity.

Extension : Analysis & Infinity (#036 / 100)
Numéro global MathTCG : MathTCG #236 / 500
Rareté officielle : Peu commune (★★)
Domaine théorique : Analyse
Identifiant pérenne : theoreme-de-cauchy-lipschitz
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