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MathTCG
#042 / 100•Algebra & Numbers•MathTCG #342 / 500•★★Peu commune•ℤArithmétique•Théorème

Théorème de Dirichlet sur les progressions arithmétiques

Période historique : 1837

Démonstration analytique qu'il existe une infinité de nombres premiers de la forme an + b dès que pgcd(a,b)=1.

Contenu & Formulation mathématique

Hypothèses nécessaires
a et b entiers naturels strictement positifs premiers entre eux.
Énoncé formel
La suite arithmétique (an + b) contient une infinité de nombres premiers.
pgcd⁡(a,b)=1  ⟹  ∣{p∈P∣p≡b(moda)}∣=∞\operatorname{pgcd}(a, b) = 1 \implies |\{ p \in \mathbb{P} \mid p \equiv b \pmod a \}| = \infty

Genèse & Portée historique

Généralisant le théorème d'Euclide sur l'infinité des nombres premiers, Dirichlet a prouvé en 1837 que toute suite arithmétique d'entiers a*n + b dont la raison a et le premier terme b sont premiers entre eux contient une infinité de nombres premiers, équitablement répartis parmi les classes inversibles.

La preuve nécessita la création des fonctions L de Dirichlet et la démonstration que L(1, chi) ne s'annule pour aucun caractère non trivial, marquant l'acte de naissance de la théorie analytique des nombres.

« Les nombres premiers s'infiltrent à l'infini dans chaque rayon arithmétique permis. »

Filiations & Relations conceptuelles (0)

Cette notice constitue un axiome autonome sans relations directes enregistrées dans le recueil.

Objet de collection MathTCG

#342
★★Peu commune
ℤ

Théorème de Dirichlet sur les progressions arithmétiques

Arithmétique•THÉORÈME

Hypothèses : a et b entiers naturels strictement positifs premiers entre eux.

pgcd⁡(a,b)=1  ⟹  ∣{p∈P∣p≡b(moda)}∣=∞\operatorname{pgcd}(a, b) = 1 \implies |\{ p \in \mathbb{P} \mid p \equiv b \pmod a \}| = \infty
1837

Dans l'édition physique et numérique de MathTCG, cette carte appartient à l'extension Algebra & Numbers.

Extension : Algebra & Numbers (#042 / 100)
Numéro global MathTCG : MathTCG #342 / 500
Rareté officielle : Peu commune (★★)
Domaine théorique : Arithmétique
Identifiant pérenne : theoreme-de-dirichlet-sur-les-progressions-arithmetiques
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