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MathTCG
#023 / 100•Analysis & Infinity•MathTCG #223 / 500•★★★Rare•∫Analyse•Théorème

Théorème de Liouville

Période historique : 1844

Toute fonction holomorphe bornée sur l'ensemble du plan complexe est constante.

Contenu & Formulation mathématique

Hypothèses nécessaires
f fonction entière (holomorphe sur C tout entier) bornée.
Énoncé formel
f est identiquement constante.
f∈H(C) et ∃M>0,  ∣f(z)∣≤M  ⟹  f est constantef \in \mathcal{H}(\mathbb{C}) \text{ et } \exists M > 0,\; |f(z)| \le M \implies f \text{ est constante}

Genèse & Portée historique

Ce théorème remarquable illustre la formidable rigidité des fonctions holomorphes par rapport aux fonctions réelles. Il offre l'une des démonstrations les plus courtes, limpides et élégantes du théorème fondamental de l'algèbre (théorème de d'Alembert-Gauss).

Bien qu'attribué à Joseph Liouville qui l'enseignait dans ses cours en 1844, Cauchy avait déjà prouvé un résultat équivalent quelques années plus tôt.

« Une fonction complexe globale ne peut être emprisonnée sans perdre tout son mouvement. »

Filiations & Relations conceptuelles (0)

Cette notice constitue un axiome autonome sans relations directes enregistrées dans le recueil.

Objet de collection MathTCG

#223
★★★Rare
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Théorème de Liouville

Analyse•THÉORÈME

Hypothèses : f fonction entière (holomorphe sur C tout entier) bornée.

f∈H(C) et ∃M>0,  ∣f(z)∣≤M  ⟹  f est constantef \in \mathcal{H}(\mathbb{C}) \text{ et } \exists M > 0,\; |f(z)| \le M \implies f \text{ est constante}
1844

Dans l'édition physique et numérique de MathTCG, cette carte appartient à l'extension Analysis & Infinity.

Extension : Analysis & Infinity (#023 / 100)
Numéro global MathTCG : MathTCG #223 / 500
Rareté officielle : Rare (★★★)
Domaine théorique : Analyse
Identifiant pérenne : theoreme-de-liouville
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