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MathTCG
#096 / 100•Analysis & Infinity•MathTCG #296 / 500•★Commune•∫Analyse•Théorème

Théorème de Schwarz

Période historique : 1873

Égalité des dérivées partielles d'ordre deux croisées pour les fonctions de classe C2.

Contenu & Formulation mathématique

Hypothèses nécessaires
f de classe C2 sur un ouvert de R2.
Énoncé formel
Les dérivées partielles secondes croisées sont égales en tout point de l'ouvert.
∂2f∂x∂y=∂2f∂y∂x\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}

Genèse & Portée historique

Aussi appelé théorème de Clairaut, ce résultat fondamental affirme que l'ordre des dérivations partielles n'a aucune importance pourvu que les dérivées croisées soient continues : dériver selon x puis selon y donne exactement le même résultat que dériver selon y puis selon x.

Alexis Clairaut l'a énoncé en 1740, mais Hermann Schwarz en a donné la première démonstration formelle rigoureuse avec contre-exemple pathologique en 1873.

« Peu importe la coordonnée inspectée en premier, la concavité croisée reste symétrique. »

Filiations & Relations conceptuelles (0)

Cette notice constitue un axiome autonome sans relations directes enregistrées dans le recueil.

Objet de collection MathTCG

#296
★Commune
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Théorème de Schwarz

Analyse•THÉORÈME

Hypothèses : f de classe C2 sur un ouvert de R2.

∂2f∂x∂y=∂2f∂y∂x\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}
1873

Dans l'édition physique et numérique de MathTCG, cette carte appartient à l'extension Analysis & Infinity.

Extension : Analysis & Infinity (#096 / 100)
Numéro global MathTCG : MathTCG #296 / 500
Rareté officielle : Commune (★)
Domaine théorique : Analyse
Identifiant pérenne : theoreme-de-schwarz
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