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MathTCG
#043 / 200•Foundations•MathTCG #043 / 500•★★Peu commune•∫Analyse•Théorème

Théorème du point fixe de Banach

Période historique : 1922 (Stefan Banach)

Le principe de contraction assurant l'existence et l'unicité d'une solution par itérations successives.

Contenu & Formulation mathématique

Hypothèses nécessaires
(E, d) espace métrique complet non vide, f : E → E contractante.
Énoncé formel
Toute fonction k-contractante (avec k < 1) d'un espace métrique complet dans lui-même admet un unique point fixe, vers lequel converge toute suite récurrente x_{n+1} = f(x_n).
d(f(x),f(y))≤k d(x,y)(k<1)  ⟹  ∃!x∗,  f(x∗)=x∗d(f(x), f(y)) \le k\,d(x, y) \quad (k < 1) \implies \exists! x^*, \; f(x^*) = x^*

Genèse & Portée historique

Théorème pivot de l'analyse fonctionnelle démontrant que toute application strictement contractante d'un espace métrique complet non vide dans lui-même possède un point fixe unique. Il offre non seulement la preuve de l'existence de solutions pour de nombreuses équations différentielles (Cauchy-Lipschitz), mais fournit un algorithme de calcul par approximations itérées.

Stefan Banach publia ce résultat dans sa thèse de 1922 à Lwów, inaugurant l'école polonaise d'analyse fonctionnelle qui se réunissait légendairement au Café Écossais (Kawiarnia Szkocka).

« Chaque pas rétrécit la distance jusqu'à l'inévitable équilibre où tout s'immobilise. »

Filiations & Relations conceptuelles (1)

Notion connexe#221

Espace de Banach

Les espaces de Banach constituent le cadre canonique du théorème de point fixe contractant de Stefan Banach.

Objet de collection MathTCG

#043
★★Peu commune
∫

Théorème du point fixe de Banach

Analyse•THÉORÈME

Hypothèses : (E, d) espace métrique complet non vide, f : E → E contractante.

d(f(x),f(y))≤k d(x,y)(k<1)  ⟹  ∃!x∗,  f(x∗)=x∗d(f(x), f(y)) \le k\,d(x, y) \quad (k < 1) \implies \exists! x^*, \; f(x^*) = x^*
1922 (Stefan Banach)

Dans l'édition physique et numérique de MathTCG, cette carte appartient à l'extension Foundations.

Extension : Foundations (#043 / 200)
Numéro global MathTCG : MathTCG #043 / 500
Rareté officielle : Peu commune (★★)
Domaine théorique : Analyse
Identifiant pérenne : theoreme-du-point-fixe-de-banach
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