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MathTCG
#098 / 200•Foundations•MathTCG #098 / 500•★Commune•⊕Algèbre•Méthode & Idée

Complétion du carré

Période historique : IXe siècle (Al-Khwârizmî, Al-Jabr)

Réécrire un polynôme quadratique sous la forme d'un carré parfait pour en extraire les racines.

Contenu & Formulation mathématique

Principe de la démarche
Identification des deux premiers termes d'une identité remarquable (x + d)² pour forcer l'apparition d'un carré parfait.
Champs d'application canoniques
Résolution des équations du second degré, identification des coniques (ellipses, paraboles) et intégration de fractions.
ax2+bx+c=a(x+b2a)2−b2−4ac4aax^2 + bx + c = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2 - 4ac}{4a}

Genèse & Portée historique

Technique algébrique fondamentale réécrivant une expression du second degré ax² + bx + c sous sa forme canonique a(x + b/(2a))² - Δ/(4a). Elle fournit la démonstration universelle de la formule du discriminant Δ = b² - 4ac et permet d'intégrer les fractions rationnelles.

Muhammad al-Khwârizmî utilisait dans son livre 'Al-Jabr' en 820 des figures géométriques carrées concrètes dont il complétait les coins manquants avec des rectangles pour justifier la méthode.

« Ajouter la pièce géométrique manquante pour fermer parfaitement le carré de l'algèbre. »

Filiations & Relations conceptuelles (1)

Emploie la méthode#099

Substitution

Applique un changement de variable par translation d'inconnue pour éliminer le terme linéaire.

Objet de collection MathTCG

#098
★Commune
⊕

Complétion du carré

Algèbre•MÉTHODE

Principe : Identification des deux premiers termes d'une identité remarquable (x + d)² pour forcer l'apparition d'un carré parfait.

ax2+bx+c=a(x+b2a)2−b2−4ac4aax^2 + bx + c = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2 - 4ac}{4a}
IXe siècle (Al-Khwârizmî, Al-Jabr)

Dans l'édition physique et numérique de MathTCG, cette carte appartient à l'extension Foundations.

Extension : Foundations (#098 / 200)
Numéro global MathTCG : MathTCG #098 / 500
Rareté officielle : Commune (★)
Domaine théorique : Algèbre
Identifiant pérenne : completion-du-carre
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