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MathTCG
#020 / 100•Analysis & Infinity•MathTCG #220 / 500•★★★Rare•∫Analyse•Concept

Espace de Hilbert

Période historique : 1904

L'espace vectoriel complet muni d'un produit scalaire, théâtre de l'analyse fonctionnelle et de la physique quantique.

Contenu & Formulation mathématique

Définition rigoureuse
Espace préhilbertien sur R ou C complet pour la distance induite par son produit scalaire.
Notation usuelle & Exemples
L^2(\mathbb{R}), \; \ell^2(\mathbb{N})
⟨x,y⟩=⟨y,x⟩‾,∥x∥=⟨x,x⟩\langle x, y \rangle = \overline{\langle y, x \rangle}, \quad \|x\| = \sqrt{\langle x, x \rangle}

Genèse & Portée historique

Généralisation de l'espace euclidien à une infinité de dimensions, un espace de Hilbert permet de parler d'orthogonalité, de projections, de bases hilbertiennes et de séries de Fourier abstraites tout en garantissant la convergence de toutes les suites de Cauchy.

Introduit par David Hilbert lors de ses recherches sur les équations intégrales, c'est John von Neumann qui formalisa l'axiomatique des espaces de Hilbert pour fonder la mécanique quantique.

« La géométrie euclidienne déployée dans la splendeur infinie des fonctions. »

Filiations & Relations conceptuelles (2)

Établi / Formulé par#015

David Hilbert

Espace vectoriel complet muni d'un produit scalaire formalisé par David Hilbert.

Cas particulier de#221

Espace de Banach

Tout espace de Hilbert est un espace de Banach dont la norme dérive d'un produit scalaire.

Objet de collection MathTCG

#220
★★★Rare
∫

Espace de Hilbert

Analyse•CONCEPT

Espace préhilbertien sur R ou C complet pour la distance induite par son produit scalaire.

⟨x,y⟩=⟨y,x⟩‾,∥x∥=⟨x,x⟩\langle x, y \rangle = \overline{\langle y, x \rangle}, \quad \|x\| = \sqrt{\langle x, x \rangle}
1904

Dans l'édition physique et numérique de MathTCG, cette carte appartient à l'extension Analysis & Infinity.

Extension : Analysis & Infinity (#020 / 100)
Numéro global MathTCG : MathTCG #220 / 500
Rareté officielle : Rare (★★★)
Domaine théorique : Analyse
Identifiant pérenne : espace-de-hilbert
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