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MathTCG
#043 / 100•Analysis & Infinity•MathTCG #243 / 500•★★Peu commune•∫Analyse•Théorème

Formule de Taylor-Lagrange

Période historique : 1797

Évaluation exacte du reste polynomial de Taylor par la valeur de la dérivée en un point intermédiaire.

Contenu & Formulation mathématique

Hypothèses nécessaires
f de classe C^n sur [a,x] et n+1 fois dérivable sur ]a,x[.
Énoncé formel
Il existe c entre a et x donnant une forme exacte au reste d'ordre n+1.
f(x)=∑k=0nf(k)(a)k!(x−a)k+f(n+1)(c)(n+1)!(x−a)n+1,c∈]a,x[f(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!} (x - a)^k + \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!} (x - a)^{n+1}, \quad c \in ]a, x[

Genèse & Portée historique

Pour une fonction n+1 fois dérivable sur un intervalle, l'écart entre la fonction et son polynôme de Taylor de degré n est exactement proportionnel à la dérivée (n+1)-ième évaluée en un point inconnu c strictement compris entre a et x.

Joseph-Louis Lagrange a publié ce résultat en 1797 dans sa Théorie des fonctions analytiques, généralisant le théorème des accroissements finis à tous les ordres.

« L'erreur de l'approximation humaine se dissimule en un point secret du chemin. »

Filiations & Relations conceptuelles (1)

Établi / Formulé par#035

Joseph-Louis Lagrange

Formulation avec reste sous forme dérivée établie par Lagrange.

Objet de collection MathTCG

#243
★★Peu commune
∫

Formule de Taylor-Lagrange

Analyse•THÉORÈME

Hypothèses : f de classe C^n sur [a,x] et n+1 fois dérivable sur ]a,x[.

f(x)=∑k=0nf(k)(a)k!(x−a)k+f(n+1)(c)(n+1)!(x−a)n+1,c∈]a,x[f(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!} (x - a)^k + \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!} (x - a)^{n+1}, \quad c \in ]a, x[
1797

Dans l'édition physique et numérique de MathTCG, cette carte appartient à l'extension Analysis & Infinity.

Extension : Analysis & Infinity (#043 / 100)
Numéro global MathTCG : MathTCG #243 / 500
Rareté officielle : Peu commune (★★)
Domaine théorique : Analyse
Identifiant pérenne : formule-de-taylor-lagrange
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