#081 / 200•Foundations•MathTCG #081 / 500•★Commune•⊕Algèbre•Théorème

Formule du binôme de Newton

Période historique : 1665 (Isaac Newton) - Pascal (1654)

Le développement algébrique explicite de toute puissance entière d'une somme de deux termes.

Contenu & Formulation mathématique

Hypothèses nécessaires

a, b commutent (ab = ba), n ∈ ℕ.

Énoncé formel

Pour tous éléments a et b d'un anneau commutatif et tout entier naturel n, la puissance (a+b)ⁿ s'exprime comme la somme des combinaisons pondérées des puissances de a et b.

(a + b)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^{n-k} b^k \quad \text{avec} \quad \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}

Genèse & Portée historique

Formule fondamentale permettant de développer la puissance n-ième d'une somme (a + b)ⁿ en une somme de monômes dont les coefficients sont les coefficients binomiaux donnés par le triangle de Pascal. Newton la généralisa ensuite aux puissances fractionnaires et négatives par des séries entières.

Déjà connue des algébristes perses comme al-Karaji au Xe siècle et des mathématiciens chinois comme Yang Hui, Newton découvrit sa généralisation aux exposants réels quelconques en 1665, gravée sur sa tombe à l'abbaye de Westminster.

« Déplier les puissances de l'algèbre par la cascade harmonieuse des combinaisons. »