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MathTCG
#090 / 200•Foundations•MathTCG #090 / 500•★Commune•⊦Maths Discrètes•Concept

Triangle de Pascal

Période historique : Xe - XIIIe s. (al-Karaji, Yang Hui), 1654 (Pascal)

La pyramide arithmétique infinie recélant les coefficients binomiaux et les puissances de 2.

Contenu & Formulation mathématique

Définition rigoureuse
Représentation triangulaire des coefficients binomiaux satisfaisant la relation de récurrence additive de Pascal.
Notation usuelle & Exemples
\text{Ligne 4} : 1, \quad 4, \quad 6, \quad 4, \quad 1
(nk)=(n−1k−1)+(n−1k)avec ∑k=0n(nk)=2n\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k} \quad \text{avec } \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} = 2^n

Genèse & Portée historique

Tableau géométrique triangulaire où chaque nombre est la somme des deux nombres situés immédiatement au-dessus de lui. Chaque ligne n énumère les coefficients de (a + b)ⁿ, dont la somme vaut 2ⁿ, et ses diagonales font surgir les nombres triangulaires, tétraédriques et la suite de Fibonacci.

Connu en Chine sous le nom de triangle de Yang Hui et en Perse sous le nom de triangle de Khayyam, Blaise Pascal en réalisa la première étude exhaustive en 1654 dans son 'Traité du triangle arithmétique'.

« Une cascade de simples additions où s'ordonnent les combinaisons de l'univers. »

Filiations & Relations conceptuelles (4)

Établi / Formulé par#007

Blaise Pascal

Étudié systématiquement par Blaise Pascal dans son Traité du triangle arithmétique (1654).

Notion connexe#052

Suite de Fibonacci

La somme des diagonales montantes du triangle de Pascal génère la suite de Fibonacci.

Notion connexe#189

Combinaison

Chaque cellule du triangle de Pascal correspond au coefficient binomial (n k).

Fondement conceptuel de#081

Formule du binôme de Newton

Les coefficients du développement du binôme sont exactement les termes du triangle de Pascal.

Objet de collection MathTCG

#090
★Commune
⊦

Triangle de Pascal

Maths Discrètes•CONCEPT

Représentation triangulaire des coefficients binomiaux satisfaisant la relation de récurrence additive de Pascal.

(nk)=(n−1k−1)+(n−1k)avec ∑k=0n(nk)=2n\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k} \quad \text{avec } \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} = 2^n
Xe - XIIIe s. (al-Karaji, Yang Hui), 1654 (Pascal)

Dans l'édition physique et numérique de MathTCG, cette carte appartient à l'extension Foundations.

Extension : Foundations (#090 / 200)
Numéro global MathTCG : MathTCG #090 / 500
Rareté officielle : Commune (★)
Domaine théorique : Maths Discrètes
Identifiant pérenne : triangle-de-pascal
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