∑
MathTCG
#006 / 100•Analysis & Infinity•MathTCG #206 / 500•★★★★Épique•∫Analyse•Théorème

Formule intégrale de Cauchy

Période historique : 1831

La valeur d'une fonction holomorphe à l'intérieur d'un contour est fixée par son bord.

Contenu & Formulation mathématique

Hypothèses nécessaires
f holomorphe sur un domaine simplement connexe contenant un lacet simple gamma orienté positivement, et a intérieur à gamma.
Énoncé formel
La valeur f(a) s'exprime comme l'intégrale de contour de f(z)/(z-a) divisée par 2 pi i.
f(a)=12πi∮γf(z)z−a dzf(a) = \frac{1}{2\pi i} \oint_{\gamma} \frac{f(z)}{z - a}\,dz

Genèse & Portée historique

Pour toute fonction holomorphe sur un ouvert simplement connexe, la valeur prise en tout point intérieur est intégralement prescrite par une intégrale de contour le long de la frontière. Ce théorème montre qu'une fonction complexe dérivable une fois est automatiquement infiniment dérivable.

Cauchy a présenté ce résultat magistral à l'Académie des sciences de Turin en 1831, révolutionnant pour toujours la géométrie et l'analyse des grandeurs imaginaires.

« La frontière détient la mémoire absolue de tout ce qu'elle renferme. »

Filiations & Relations conceptuelles (1)

Établi / Formulé par#031

Augustin-Louis Cauchy

Formule intégrale de Cauchy déterminant les valeurs d'une fonction holomorphe.

Objet de collection MathTCG

#206
★★★★Épique
∫

Formule intégrale de Cauchy

Analyse•THÉORÈME

Hypothèses : f holomorphe sur un domaine simplement connexe contenant un lacet simple gamma orienté positivement, et a intérieur à gamma.

f(a)=12πi∮γf(z)z−a dzf(a) = \frac{1}{2\pi i} \oint_{\gamma} \frac{f(z)}{z - a}\,dz
1831

Dans l'édition physique et numérique de MathTCG, cette carte appartient à l'extension Analysis & Infinity.

Extension : Analysis & Infinity (#006 / 100)
Numéro global MathTCG : MathTCG #206 / 500
Rareté officielle : Épique (★★★★)
Domaine théorique : Analyse
Identifiant pérenne : formule-integrale-de-cauchy
Consulter mon classeurExplorer tout le recueil