∑
MathTCG
#171 / 200•Foundations•MathTCG #171 / 500•★Commune•ℙProbabilités•Théorème

Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Période historique : 1853 (Bienaymé) - 1867 (Tchebychev)

Le confinement des écarts : la probabilité de s'éloigner de la moyenne de plus de k écarts-types ne dépasse jamais 1/k².

Contenu & Formulation mathématique

Hypothèses nécessaires
Var(X) = σ² < ∞, ε > 0.
Énoncé formel
Pour toute variable aléatoire réelle X d'espérance μ et de variance σ² finie, et pour tout réel ε > 0, P(|X - μ| ≥ ε) ≤ σ² / ε².
P(∣X−μ∣≥kσ)≤1k2(k>0)\mathbb{P}(|X - \mu| \ge k\sigma) \le \frac{1}{k^2} \quad (k > 0)

Genèse & Portée historique

Inégalité probabiliste encadrant la dispersion d'une variable aléatoire autour de sa moyenne en fonction de sa variance. Valable pour n'importe quelle distribution sans supposer de normalité, elle prouve que les valeurs s'agglomèrent autour de l'espérance.

Découverte par Irénée-Jules Bienaymé en 1853 et formulée indépendamment par Pafnouti Tchebychev en 1867, cette inégalité permit à ce dernier de donner la première preuve générale de la loi faible des grands nombres pour des variables quelconques de variance finie.

« La variance mesure le souffle du hasard : plus elle est contenue, plus la moyenne attire ses enfants. »

Filiations & Relations conceptuelles (1)

Cas particulier de#170

Inégalité de Markov

S'obtient directement en appliquant l'inégalité de Markov au carré |X - μ|².

Objet de collection MathTCG

#171
★Commune
ℙ

Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Probabilités•THÉORÈME

Hypothèses : Var(X) = σ² < ∞, ε > 0.

P(∣X−μ∣≥kσ)≤1k2(k>0)\mathbb{P}(|X - \mu| \ge k\sigma) \le \frac{1}{k^2} \quad (k > 0)
1853 (Bienaymé) - 1867 (Tchebychev)

Dans l'édition physique et numérique de MathTCG, cette carte appartient à l'extension Foundations.

Extension : Foundations (#171 / 200)
Numéro global MathTCG : MathTCG #171 / 500
Rareté officielle : Commune (★)
Domaine théorique : Probabilités
Identifiant pérenne : inegalite-de-bienayme-tchebychev
Consulter mon classeurExplorer tout le recueil