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MathTCG
#170 / 200•Foundations•MathTCG #170 / 500•★Commune•ℙProbabilités•Théorème

Inégalité de Markov

Période historique : XIXe siècle (Andreï Markov)

La borne supérieure fondamentale des probabilités de queue pour toute variable aléatoire positive.

Contenu & Formulation mathématique

Hypothèses nécessaires
X ≥ 0 presque sûrement, a > 0, E[X] fini.
Énoncé formel
Soit X une variable aléatoire réelle positive admettant une espérance. Pour tout réel a strictement positif, P(X ≥ a) ≤ E[X] / a.
P(X≥a)≤E[X]a(X≥0,  a>0)\mathbb{P}(X \ge a) \le \frac{\mathbb{E}[X]}{a} \quad (X \ge 0, \; a > 0)

Genèse & Portée historique

Inégalité probabiliste simple mais puissante majorant la probabilité qu'une variable aléatoire positive dépasse un seuil a par son espérance divisée par a. Elle constitue la mère de toutes les inégalités de concentration modernes (Tchebychev, Chernoff).

Formulée par Andreï Markov (élève de Tchebychev), cette inégalité élémentaire illustre comment la simple connaissance d'une valeur moyenne impose une limite stricte à l'extrémisme des valeurs possibles.

« Un fleuve dont le débit moyen est modéré ne peut submerger ses berges que rarement. »

Filiations & Relations conceptuelles (1)

Généralise#171

Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

S'obtient directement en appliquant l'inégalité de Markov au carré |X - μ|².

Objet de collection MathTCG

#170
★Commune
ℙ

Inégalité de Markov

Probabilités•THÉORÈME

Hypothèses : X ≥ 0 presque sûrement, a > 0, E[X] fini.

P(X≥a)≤E[X]a(X≥0,  a>0)\mathbb{P}(X \ge a) \le \frac{\mathbb{E}[X]}{a} \quad (X \ge 0, \; a > 0)
XIXe siècle (Andreï Markov)

Dans l'édition physique et numérique de MathTCG, cette carte appartient à l'extension Foundations.

Extension : Foundations (#170 / 200)
Numéro global MathTCG : MathTCG #170 / 500
Rareté officielle : Commune (★)
Domaine théorique : Probabilités
Identifiant pérenne : inegalite-de-markov
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