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MathTCG
#083 / 100•Analysis & Infinity•MathTCG #283 / 500•★Commune•∫Analyse•Concept

Intégrale de Riemann

Période historique : 1854

Construction classique de l'aire sous la courbe par partition de l'intervalle et sommes de rectangles.

Contenu & Formulation mathématique

Définition rigoureuse
Limite uniforme des sommes de Riemann d'une fonction sur des subdivisions de pas tendant vers zéro.
Notation usuelle & Exemples
\int_a^b f(x)\,dx
∫abf(x) dx=lim⁡∥P∥→0∑i=1nf(ξi)(xi−xi−1)\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{\|P\| \to 0} \sum_{i=1}^n f(\xi_i) (x_i - x_{i-1})

Genèse & Portée historique

Bernhard Riemann généralise la définition de l'intégrale de Cauchy pour englober des fonctions discontinues, en évaluant la convergence de sommes finies sur des subdivisions de pas tendant vers zéro. La formulation par sommes supérieure et inférieure a été précisée ultérieurement par Gaston Darboux.

Présentée dans son mémoire d'habilitation de 1854 sur la représentation des fonctions par séries trigonométriques, cette intégrale a formalisé l'analyse pour tout le XIXe siècle.

« Découper l'intervalle en lames infiniment fines pour en sommer les rectangles élémentaires. »

Filiations & Relations conceptuelles (1)

Établi / Formulé par#014

Bernhard Riemann

Sommation par subdivision du domaine réel définie par Riemann.

Objet de collection MathTCG

#283
★Commune
∫

Intégrale de Riemann

Analyse•CONCEPT

Limite uniforme des sommes de Riemann d'une fonction sur des subdivisions de pas tendant vers zéro.

∫abf(x) dx=lim⁡∥P∥→0∑i=1nf(ξi)(xi−xi−1)\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{\|P\| \to 0} \sum_{i=1}^n f(\xi_i) (x_i - x_{i-1})
1854

Dans l'édition physique et numérique de MathTCG, cette carte appartient à l'extension Analysis & Infinity.

Extension : Analysis & Infinity (#083 / 100)
Numéro global MathTCG : MathTCG #283 / 500
Rareté officielle : Commune (★)
Domaine théorique : Analyse
Identifiant pérenne : integrale-de-riemann
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